“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

方法二：传统求导法

令：

$$
f(x) = 1 – \mathrm{e}^{-2x} – x
$$

并且 $f(x)$ 在 $x = 0$ 和 $x = \frac{1}{2}$ 处的端点值为：

$$
\begin{cases}
f(0) = 0 \\
f \left(\frac{1}{2} \right) = 1 – \mathrm{e}^{-1} – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} – \frac{1}{\mathrm{e}} > 0
\end{cases}
$$

又因为：

$$
\lim_{ x \rightarrow + \infty } f(x) = \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1 – \mathrm{e}^{-2x} – x \right) = – \infty
$$

因此，一定存在 $x_{0} > \frac{1}{2}$, 使得：

$$
f( x_{0} ) < 0
$$

于是，由零点定理可知，方程 $1 – \mathrm{e}^{-2x}$ $=$ $x$ 在区间 $\left( \frac{1}{2}, x_{0} \right]$ $\in$ $( 0, + \infty )$ 上至少有一个实根。

接着：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{brown}{ f^{ \prime }(x_{1}) = 0 } \\ \\
\Leftrightarrow \ & \left( 1 – \mathrm{e}^{-2x_{1}} – x_{1} \right) ^{\prime} = 0 \\ \\
\Leftrightarrow \ & 2 \mathrm{e}^{-2x_{1}} – 1 = 0 \\ \\
\Leftrightarrow \ & 2 \mathrm{e}^{-2x_{1}} = 1 \\ \\
\Leftrightarrow \ & \mathrm{e}^{-2x_{1}} = \frac{1}{2} \\ \\
\Leftrightarrow \ & \ln 2^{-1} = -2x_{1} \\ \\
\Leftrightarrow \ & \textcolor{pink}{-} \ln 2 = \textcolor{pink}{-} 2x_{1} \\ \\
\Leftrightarrow \ & \ln 2 = 2x_{1} \\ \\
\Leftrightarrow \ & \textcolor{brown}{ x_{1} = \frac{1}{2} \ln 2 }
\end{aligned}
$$

进一步，根据单调性分析实根的唯一性：

① 当 $0 < x_{1} < \frac{1}{2} \ln 2$ 时，$f^{\prime}(x) > 0$, 此时 $f(x)$ 严格单调增加。又因为 $f (x) > f(0)$ $=$ $0$, 所以，方程在 $\left( 0, \frac{1}{2} \ln 2 \right)$ 内无实根；

② 当 $\frac{1}{2} \ln 2 < x < + \infty$ 时，$f^{\prime}(x) < 0$, 此时 $f(x)$ 严格单调减少。又因为 $f(x)$ $<$ $f \left( \frac{1}{2} \ln 2 \right)$ $=$ $\frac{1}{2} \ln \frac{ \mathrm{e}}{2}$ $>$ $0$, $f(+ \infty)$ $<$ $0$, 所以，方程在 $\left( \frac{1}{2} \ln 2, + \infty \right)$ 内有唯一实根。

综上，方程 $1 – \mathrm{e}^{-2x}$ $=$ $x$ 在区间 $(0, + \infty )$ 内有实根且有唯一的实根。