图解全概率公式

一、前言

全概率公公式的定义如下：

在本文中，「荒原之梦考研数学」就用 图 示 的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。

二、正文

要理解全概率公式，首先要先对全概率公式做转换：

$$
\begin{aligned}
P(B) \\ \\
& = \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}) P(B|A_{i}) \\ \\
& = \sum_{i=1}^{n} P(A_{i}) \cdot \frac{P(A_{i} B)}{P(A_{i})} \\ \\
& = \sum_{i=1}^{n} P(A_{i} B) \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ P(A_{1} B) + P(A_{2} B) + \cdots + P(A_{n} B) }
\end{aligned}
$$

由于事件 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{n}$ 两两互斥，所以事件 $A_{1}B$, $A_{2}B$, $\cdots$, $A_{n}B$ 也两两互斥。因此，根据互斥事件的可列可加性，可得：

$$
\begin{aligned}
P(B) \\ \\
& = \textcolor{yellow}{ P(A_{1} B) + P(A_{2} B) + \cdots + P(A_{n} B) } \\ \\
& = P(A_{1}B \cup A_{2}B \cup \cdots \cup A_{n} B) \\ \\
& \Leftrightarrow \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ B = A_{1}B \cup A_{2}B \cup \cdots \cup A_{n} B }}
\end{aligned}
$$

因此，只要我们能够理解 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{1}B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{2}B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cdots}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{n} B}}$, 也就能够理解全概率公式了。

首先，我们将事件 $\Omega$ 或者其他任意一个能够将事件 $B$ 包含在内的事件划分成 $n$ 份（或者更多份，甚至无数份）——

为了表述方便，我们这里将符合上述要求的事件划分成 $9$ 份，并用 $A_{1 – 9}$ 做标记，即：

接着，用绿色部分表示的事件 $B$, 就会与 $A_{1-9}$ 这九个分块产生交集，而这个交集就是 $A_{1-9} B$——

从下面的图片中可以看到，将 $A_{1-9} B$ 这九个分块拼到一起，其实就是事件 $B$ 本身，因此，式子 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{=}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{1}B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{2}B}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cdots}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\cup}}$ $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A_{n} B}}$ 得证，从而就可以理解全概率公式了：

此外，全概率公式还有下面这样一段的补充说明：

“把 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{n}$ 换成 $A_{1}$, $A_{2}$, $\cdots$, $A_{n}$, $\cdots$, 或者把 $\sum_{i=1}^{n} A_{i}$ $=$ $\Omega$ 换成 $B$ $\subseteq$ $\sum_{i=1}^{\textcolor{orange}{n}} A_{i}$ 或者 $B$ $\subseteq$ $\sum_{i=1}^{\textcolor{springgreen}{\infty}} A_{i}$, 全概率公式仍然成立。”

上面这段补充说明的含义就是，无论事件 $B$ 是属于必然事件 $\Omega$, 还是属于某个可以完全容纳事件 $B$ 的一般事件 $A$，无论将事件 $\Omega$ 或者事件 $A$ 划分成有限个部分还是无限个部分，全概率公式都成立。

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