导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：

$$
f(x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

由于函数 $f(x)$ 二阶可导，所以，先对题目所给的式子求二阶导：

$$
\begin{aligned}
& f ^{\prime} (x) = f(n-x) \\ \\
\Leftrightarrow & \ f ^{\prime \prime} (x) = – f ^{\prime} (n – x) \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{yellow}{ f ^{\prime \prime} (x) + f(x) = 0 }
\end{aligned}
$$

上面所得的式子 $\textcolor{yellow}{f ^{\prime \prime} (x)}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\textcolor{yellow}{f(x)}$ $\textcolor{yellow}{=}$ $\textcolor{yellow}{0}$ 是一个二阶常系数微分方程，该方程的特征方程与特征根为：

$$
\begin{aligned}
& \lambda^{2} + 1 = 0 \\ \\
\Leftrightarrow & \ \lambda^{2} = – 1 \\ \\
\Leftrightarrow & \ \begin{cases}
\lambda_{1} = i \\
\lambda_{2} = -i
\end{cases} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \begin{cases}
\lambda_{1} = \textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} + \textcolor{black}{\colorbox{orangered}{1}} \cdot i \\
\lambda_{2} = \textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} \ \ – \ \textcolor{black}{\colorbox{orangered}{1}} \cdot i
\end{cases}
\end{aligned}
$$

Note

$i^{2}$ $=$ $-1$;
$(-i)^{2}$ $=$ $(-1) ^{2} \cdot i^{2}$ $=$ $i^{2}$ $=$ $-1$

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于是，该二阶常系数齐次线性微分方程的通解可以设为：

$$
f(x) = \mathrm{e}^{\textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} \cdot x} \left[ C_{1}
\cos (\textcolor{black}{\colorbox{orangered}{1}} \cdot x ) + C_{2} \sin (\textcolor{black}{\colorbox{orangered}{1}} \cdot x) \right]
$$

化简，得：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x
} \tag{1}
$$

求导，得：

$$
\textcolor{springgreen}{
f ^{\prime} (x) = – C_{1} \sin x + C_{2} \cos x
} \tag{2}
$$

其中，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为待定系数，接下来我们就需要确定 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的具体取值。

根据题目所给的式子 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, 若令 $\textcolor{orange}{x}$ $=$ $\textcolor{orangered}{n-x}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& f ^{\prime} (\textcolor{orange}{x}) = f(\textcolor{orange}{n-x}) \\ \\
\Leftrightarrow & \ f ^{\prime} (\textcolor{orangered}{n-x}) = f[\textcolor{orange}{n -} (\textcolor{orangered}{n-x}) ] \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{yellow}{ f ^{\prime} (n-x) = f(x) }
\end{aligned}
$$

于是，将 $f(0)$ $=$ $1$ 代入上式，可得：

$$
\textcolor{yellow}{
f ^{\prime} (n) = f(0) = 1
}
$$

将 $f(0)$ $=$ $1$ 代入前面的 $(1)$ 式，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
C_{1} = 1
}
$$

将 $f ^{\prime} (n)$ $=$ $1$ 和 $C_{1}$ $=$ $1$ 代入前面的 $(2)$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
& C_{2} \cos n – \sin n = 1 \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{springgreen}{ C_{2} = \frac{1 + \sin n}{\cos n} }
\end{aligned}
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f(x) = \cos x + \frac{1 + \sin n}{\cos n} \cdot \sin x
}
}
$$

拓展

事实上，随着 $n$ 取值的不同，上面得到的具体的函数 $f(x)$ 也不一样，如果令：

$$
\textcolor{#c74440}{ f_{1} = \cos x + \frac{1 + \sin 1}{\cos 1} \cdot \sin x }
$$

$$
\textcolor{#6042a6}{ f_{2} = \cos x + \frac{1 + \sin 2}{\cos 2} \cdot \sin x }
$$

$$
\textcolor{#fa7e19}{ f_{3} = \cos x + \frac{1 + \sin 3}{\cos 3} \cdot \sin x }
$$

$$
\textcolor{#388c46}{ f_{999} = \cos x + \frac{1 + \sin 999}{\cos 999} \cdot \sin x }
$$

则对应的函数图像示意图为：

当然，$\textcolor{springgreen}{ f(x) }$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{\cos x}$ $\textcolor{springgreen}{+}$ $\textcolor{springgreen}{\frac{1 + \sin n}{\cos n} \cdot \sin x}$ 中的 $n$ 也可以等于 $0$, $0.1$ 或者 $-0.1$ 等。

当 $n=0$ 时，有：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = \cos x + \sin x
}
$$

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