一、题目
已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$
难度评级：
二、解析 
-· 分析 ·-
如果存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C^{\top} A C}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ 成立，则表明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是合同矩阵，即：
$$
\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}
$$
如果两个矩阵是合同矩阵，则这两个矩阵一定是关于主对角线对称的矩阵——观察可知，题目中所给的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 也确实满足这一特征。
还要注意的一点是，式子 “$\boldsymbol{C^{\top} A C}$ $=$ $\boldsymbol{B}$” 中的矩阵 $\boldsymbol{C}$ 并不一定是初等矩阵，而是多个可逆矩阵都可以作为 $\boldsymbol{C}$ 存在。
但是，为了计算和表述的方便，我们可以只求解初等矩阵形式的矩阵 $\boldsymbol{C}$.
-· 计算 ·-
由于单位矩阵可以用来记录初等变换，并且对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵, 所以，我们只需要对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 进行初等行变换和初等列变换，使之转换为矩阵 $\boldsymbol{B}$, 并在此过程中用单位矩阵进行记录即可。
先进行一次 初 等 行 变 换 ：
$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & \textcolor{gray}{|} & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 1 & \textcolor{gray}{|} & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & \textcolor{gray}{|} & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{r_{1} \leftrightarrow r_{2}} & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{3} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{gray}{|} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \\
\textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{gray}{|} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \\
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{gray}{|} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
接着进行一次 初 等 列 变 换 ：
$$
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{3} & \textcolor{orangered}{1} \\
\textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{1} \\
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} \\
\textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\xRightarrow{c_{1} \leftrightarrow c_{2}} &
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{3} & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{springgreen}{1} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} \\
\textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
通过上面的列变换，我们得到了：
$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{springgreen}{3} & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{springgreen}{1} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0}
\end{bmatrix} = \boldsymbol{B}
$$
于是，根据矩阵初等变换中的“左行右列”原则，我们知道通过初等行变换得到的矩阵就是式子 “$\boldsymbol{C^{\top} A C}$ $=$ $\boldsymbol{B}$” 左侧的矩阵 $\boldsymbol{C} ^{\top}$, 即：
$$
\boldsymbol{C} ^{\top} = \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}}
\end{bmatrix}
$$
对应的，通过初等列变换得到的矩阵对应于式子 “$\boldsymbol{C^{\top} A C}$ $=$ $\boldsymbol{B}$” 右侧的矩阵 $\boldsymbol{C}$, 也就是本题要求解的答案：
$$
\boldsymbol{C} = \begin{bmatrix}
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{0}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{1}}
\end{bmatrix}
$$
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