2017 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

微分方程 $y''+2y'+3y=0$ 得通解为__.

观察可知，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下：

形如 $y''+py'+qy=0$ , 其中 $p,q$ 均为常数。

特征方程为： $\lambda^{2}+p \lambda+q=0,$

(1) 当 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x};$

(2) 当 $\lambda_{1}=\lambda_{2}$ 时，通解为 $y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x};$

(3) 当 $\lambda=\alpha \pm i \beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).$

在本题中，特征方程中的 $p=2,q=3$ , 因此特征方程为：

$\lambda^{2}+2\lambda+3=0.$ (1)

此外，我们还知道，对于形如 $ax^{2}+bx+c=0$ 的一元二次方程，其求根公式为：

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

于是，我们知道，对于 (1) 式：

$\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}.$ (2)
我们又知道，在虚数中（复数包含虚数和实数），虚数单位 $i$ 有如下性质：

i^{2}=-1.

于是，(2) 式可以写成：

\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}=\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.

于是， $\alpha=-1,\beta=\sqrt{2}$ .

因此，正确答案是：

y=e^{-x}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin\sqrt{2}x)

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