题目
微分方程 y''+2y'+3y=0 得通解为__.
解析
观察可知，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。
二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下：
形如 y''+py'+qy=0, 其中 p,q 均为常数。
特征方程为：\lambda^{2}+p \lambda+q=0,
(1) 当 \lambda_{1},\lambda_{2} 为互异实根时，微分方程得通解为 y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x};
(2) 当 \lambda_{1}=\lambda_{2} 时，通解为 y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x};
(3) 当 \lambda=\alpha \pm i \beta （复数根）时，通解为 y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).
在本题中，特征方程中的 p=2,q=3, 因此特征方程为：
\lambda^{2}+2\lambda+3=0. (1)
此外，我们还知道，对于形如 ax^{2}+bx+c=0 的一元二次方程，其求根公式为：
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.于是，我们知道，对于 (1) 式：
\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}. (2)
我们又知道，在虚数中（复数包含虚数和实数），虚数单位 i 有如下性质：
于是，(2) 式可以写成：
\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}=\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.于是，\alpha=-1,\beta=\sqrt{2}.
因此，正确答案是：
y=e^{-x}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin\sqrt{2}x)EOF