2017 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

微分方程 [latex]y”+2y’+3y=0[/latex] 得通解为__.

解析

观察可知,这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下:

形如 [latex]y”+py’+qy=0[/latex], 其中 [latex]p,q[/latex] 均为常数。

特征方程为:[latex]\lambda^{2}+p \lambda+q=0,[/latex]

(1) 当 [latex]\lambda_{1},\lambda_{2}[/latex] 为互异实根时,微分方程得通解为 [latex]y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x};[/latex]

(2) 当 [latex]\lambda_{1}=\lambda_{2}[/latex] 时,通解为 [latex]y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x};[/latex]

(3) 当 [latex]\lambda=\alpha \pm i \beta[/latex] (复数根)时,通解为 [latex]y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).[/latex]

在本题中,特征方程中的 [latex]p=2,q=3[/latex], 因此特征方程为:

[latex]\lambda^{2}+2\lambda+3=0.[/latex] (1)

此外,我们还知道,对于形如 [latex]ax^{2}+bx+c=0[/latex] 的一元二次方程,其求根公式为:

[latex]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.[/latex]

于是,我们知道,对于 (1) 式:

[latex]\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}.[/latex] (2)
我们又知道,在虚数中(复数包含虚数和实数),虚数单位 [latex]i[/latex] 有如下性质:

[latex]i^{2}=-1.[/latex]

于是,(2) 式可以写成:

[latex]\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}=\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.[/latex]

于是,[latex]\alpha=-1,\beta=\sqrt{2}[/latex].

因此,正确答案是:

[latex]y=e^{-x}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin\sqrt{2}x)[/latex]

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