一、题目
微分方程 $y”$ $+$ $2y’$ $+$ $3y$ $=$ $0$ 的通解为__.
二、解析
观察可知，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。
二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下：
形如 $y”$ $+$ $py’$ $+$ $qy$ $=$ $0$, 其中 $p$, $q$ 均为常数。
特征方程为：$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$,
(1) 当 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $e^{\lambda_{1}x}$ $+$ $C_{2}$ $e^{\lambda_{2}x}$;
(2) 当 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ 时，通解为 $y(x)$ $=$ $(C_{1}+C_{2}x)$ $e^{\lambda_{1}x}$;
(3) 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)$ $=$ $e^{\alpha x}$ $(C_{1}$ $\cos \beta$ $x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta$ $x)$.
在本题中，特征方程中的 $p$ $=$ $2$, $q$ $=$ $3$, 因此特征方程为：
$\lambda^{2}$ $+$ $2$ $\lambda$ $+$ $3$ $=$ $0$. (1)
此外，我们还知道，对于形如 $a$ $x^{2}$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $=0$ 的一元二次方程，其求根公式为：
$x$ $=$ $\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$.
于是，我们知道，对于 (1) 式：
$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}$. (2)
我们又知道，在虚数中（复数包含虚数和实数），虚数单位 $i$ 有如下性质：
$i^{2}$ $=$ $-1$.
于是，(2) 式可以写成：
$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}$ $=$ $-1$ $\pm$ $i$ $\sqrt{2}$.
于是，$\alpha$ $=$ $-1$, $\beta$ $=$ $\sqrt{2}$.
因此，正确答案是：
$y$ $=$ $e^{-x}$ $(C_{1}$ $\cos \sqrt{2}x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \sqrt{2}$ $x$ $)$
EOF