2017 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

微分方程 y''+2y'+3y=0 得通解为__.

解析

观察可知,这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下:

形如 y''+py'+qy=0, 其中 p,q 均为常数。

特征方程为:\lambda^{2}+p \lambda+q=0,

(1) 当 \lambda_{1},\lambda_{2} 为互异实根时,微分方程得通解为 y(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x};

(2) 当 \lambda_{1}=\lambda_{2} 时,通解为 y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1}x};

(3) 当 \lambda=\alpha \pm i \beta (复数根)时,通解为 y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x).

在本题中,特征方程中的 p=2,q=3, 因此特征方程为:

\lambda^{2}+2\lambda+3=0. (1)

此外,我们还知道,对于形如 ax^{2}+bx+c=0 的一元二次方程,其求根公式为:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

于是,我们知道,对于 (1) 式:

\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{4-12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}. (2)
我们又知道,在虚数中(复数包含虚数和实数),虚数单位 i 有如下性质:

i^{2}=-1.

于是,(2) 式可以写成:

\lambda=\frac{-2\pm\sqrt{8i^{2}}}{2}=\frac{-2\pm i 2 \sqrt{2}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.

于是,\alpha=-1,\beta=\sqrt{2}.

因此,正确答案是:

y=e^{-x}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin\sqrt{2}x)

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