对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”

一、题目

(A) $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

(B) $\boldsymbol { A } ( \boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B } ) ^ { – 1 } \boldsymbol { B }$

(C) $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$

(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$

难度评级：

二、解析

Note

注意，一般情况下，$( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$ $\neq$ $\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 }$

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Tip

求解本题的核心思路就是在矩阵加法中构造出来矩阵乘法，因为只有引入了矩阵乘法，才能方便且正确的使用矩阵逆运算。

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由于 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 均为可逆矩阵，所以：

$$
\boldsymbol { A } \boldsymbol { A } ^ { – 1 } = \boldsymbol { A } ^ { – 1 } \boldsymbol { A } = \boldsymbol { B } \boldsymbol { B } ^ { – 1 } = \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { E }
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\boldsymbol { E } } \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\boldsymbol { B } ^ { – 1 } \boldsymbol { B }} \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \\ \\
& = \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \textcolor{yellow}{\boldsymbol { B } \boldsymbol { A } ^ { – 1 }} + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \textcolor{yellow}{E} \\ \\
& = \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \left( \textcolor{yellow}{\boldsymbol { B } \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { E } } \right) \\ \\
& = \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \left( \boldsymbol { B } \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { A } \boldsymbol { A } ^ { – 1 } \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol { B } ^ { – 1 } ( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) \boldsymbol { A } ^ { – 1 } }
\end{aligned}
$$

进而：

$$
\begin{aligned}
\left( \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \right) ^ { – 1 } \\ \\
& = \left[ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol { B } ^ { – 1 } ( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) \boldsymbol { A } ^ { – 1 } } \right]^{-1} \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol { A } ( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 } \boldsymbol { B } }
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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