2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 (X,Y) 服从正态分布 N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=____.

解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

正态分布

正态分布通常用下面的公式表示:

X \sim N(\mu,\sigma^{2}).

其中 \mu 表示数学期望(或称“均数”),\sigma^{2} 表示方差,\sigma 表示标准差。

参数 \mu 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置,正态分布的图像以 x= \mu 为对称轴,左右完全对称。在正态分布中,数学期望=均数=中位数=众数= \mu.

参数 \sigma^{2} 决定了正态分布中随机变量的离散程度,\sigma 越小,数据就越集中,反之,若 \sigma 越大,数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是,当 \sigma 越小的时候,正态分布的图像越窄高,\sigma 越大的时候,正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 (\mu - \sigma, \mu + \sigma) 区间内存在拐点,拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地,X \sim N(0,1) 为标准正态分布,其分布图象关于 y 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像,反映了参数 \mu\sigma 对正态分布图像的影响,其中红色线表示的为标准正态分布:

图 1. 由Inductiveload – self-made, Mathematica, Inkscape,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3817954

二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式:

(X,Y) \sim N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).

在本题中,需要用到关于二维正态分布的如下两个性质:

X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2});Y \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2});

XY 独立的充要条件是 \rho=0.
我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像:

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示:

图 2. 二维正态分布条件概率密度函数图像

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束,下面是具体的做题过程。

由题可知,\rho=0, 因此,XY 相互独立,根据“随机变量的独立性”中的定理,我们知道,这也就意味着:

P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.

于是,我们有:

P\{XY-Y<0\}=P\{Y(X-1)<0\}=P\{Y>0,X-1<0\}+P\{Y<0,X-1>0\}=P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}=P\{Y>0\}P\{X<1\}+P\{Y<0\}P\{X>1\}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

综上可知,本题的正确答案是:\frac{1}{2}

EOF