2017 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

设 [latex]A,B[/latex] 为随机事件,若 [latex]0<P(A)<1,0<P(B)<1[/latex], 则 [latex]P(A|B)>P(A|\bar{B})[/latex] 的充分必要条件是 ( )

( A ) [latex]P(B|A)>P(B|\bar{A})[/latex].

( B ) [latex]P(B|A)<P(B|\bar{A})[/latex].

( C ) [latex]P(\bar{B}|A)>P(B|\bar{A})[/latex].

( D ) [latex]P(\bar{B}|A)<p(B|\bar{A})[/latex].

解析

本题中要找的是“充分必要条件”。根据充分必要条件的含义我们知道,如果事件 [latex]A[/latex] 和 [latex]B[/latex] 要满足充要条件就要有 [latex]A \rightarrow B[/latex] 且 [latex]B \rightarrow A[/latex].

但是,如果满足以下情况,也可以确定 [latex]A[/latex] 与 [latex]B[/latex] 是互相的充要条件:

设有事件 [latex]A,B,C[/latex], 当存在以下情况:

[latex]A \rightarrow C[/latex] 且 [latex]C \rightarrow A[/latex] 且 [latex]B \rightarrow C[/latex] 且 [latex]C \rightarrow B[/latex], 则 [latex]A[/latex] 与 [latex]B[/latex] 是互相的充要条件。

对于本题而言,直接把题目中所给的形式 [latex]P(A|B)>P(A|\bar{B})[/latex] 转换成选项中所给的形式,以及把选项中的形式转换成题目中所给的形式,可能难度比较大。这里我们可以考虑化简题目中所给的形式,之后再化简选项中所给的形式,由于化简过程中都是全程使用的等价符号,因此化简前的原式和化简后得到的形式是互为充要条件的,如果选项中的化简结果和题目中的化简结果一样,则可以说明它们之间存在互为充要条件的关系。

首先对题目中的原式进行化简,根据条件概率的公式,我们有:

[latex]P(A|B)>P(A|\bar{B}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}[/latex].

又因为:

[latex]P(A \bar{B})=P[A(1-B)]=P(A-AB)=P(A)-P(AAB)=P(A)-P(AB)[/latex].

所以有:

[latex]原式 \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(B)}>\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)} \Rightarrow P(AB)[1-P(B)]>P(B)[P(A)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(B)>P(B)P(A)-P(B)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B)[/latex].

接下来,通过观察题目我们知道,A 选项和 B 选项的区别只是大于和小于符号,C 选项和 D 选项的区别也是如此。因此,我们只需要分别对 A 选项和 C 选项进行计算就可以确定哪个是正确选项了。

对 A 选项进行化简:

[latex]P(B|A)>P(B|\bar{A}) \Rightarrow \frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P( \bar{A} B)}{P(\bar{A})}[/latex].

又因为:

[latex]P(\bar{A}B)=P[(1-A)B]=P(B-AB)=P(B)-P(ABB)=P(B)-P(AB)[/latex].

所以有:

[latex]\frac{P(AB)}{P(A)}>\frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)} \Rightarrow P(AB)[1-P(A)]>P(A)[P(B)-P(AB)] \Rightarrow P(AB)-P(AB)P(A)>P(A)P(B)-P(A)P(AB) \Rightarrow P(AB)>P(A)P(B)[/latex].

由此,我们知道,A 选项对,B 选项错。

为了保险起见,我们可以在对 C 选项做一个计算:

[latex]P(\bar{B}|A)>P(B| \bar{A}) \Rightarrow \frac{P(A \bar{B})}{P(A)}>\frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})} \Rightarrow P(A \bar{B})P(\bar{A})> P(\bar{A}B)P(A)[/latex].

又因为:

[latex]P(A \bar{B})=P(A)-P(AB);[/latex]

[latex]P(\bar{A} B)=P(B)-P(AB).[/latex]

所以有:

[latex][P(A)-P(AB)][1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A) \Rightarrow P(A)-P(A)P(A)-P(AB)+P(AB)P(A)>P(B)P(A)-P(AB)P(A)\nRightarrow P(AB)>P(A)P(B)[/latex].

因此,可以知道,选项 C 和 D 都不正确。

综上可知,正确选项是:A

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