2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

若 [latex]A,B[/latex] 为任意两个随机事件,则 ( )

( A ) [latex]P(AB) \leqslant P(A)P(B)[/latex].

( B ) [latex]P(AB) \geqslant P(A)P(B)[/latex].

( C ) [latex]P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].

( D ) [latex]P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].

解析

我们知道,[latex]AB \Leftrightarrow A \cap B[/latex].

于是,我们知道,[latex]AB \subset A[/latex], [latex]AB \subset B[/latex].

接下来,根据概率的基本性质中的可比性:

设 [latex]A,B[/latex] 是两个事件,若 [latex]A \subset B[/latex], 则有:

[latex]P(A) \leqslant P(B)[/latex];

[latex]P(B-A)=P(B)-P(A)[/latex].

于是,我们知道:

[latex]P(AB) \leqslant P(A)[/latex]; ①

[latex]P(AB) \leqslant P(B)[/latex]. ②

接下来,将 ① 式与 ② 式联立可得:

[latex]P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].

综上可知,本题的正确选项是:C

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