2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

若 $A,B$ 为任意两个随机事件，则 ( )

( A ) $P(AB) \leqslant P(A)P(B)$ .

( B ) $P(AB) \geqslant P(A)P(B)$ .

( C ) $P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ .

( D ) $P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ .

我们知道， $AB \Leftrightarrow A \cap B$ .

于是，我们知道， $AB \subset A$ , $AB \subset B$ .

接下来，根据概率的基本性质中的可比性：

设 $A,B$ 是两个事件，若 $A \subset B$ , 则有：
$P(A) \leqslant P(B)$ ;
$P(B-A)=P(B)-P(A)$ .

于是，我们知道：

$P(AB) \leqslant P(A)$ ; ①

$P(AB) \leqslant P(B)$ . ②

接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：

$P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}$ .

综上可知，本题的正确选项是：C

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