2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

A,B 为任意两个随机事件,则 ( )

( A ) P(AB) \leqslant P(A)P(B).

( B ) P(AB) \geqslant P(A)P(B).

( C ) P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

( D ) P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

解析

我们知道,AB \Leftrightarrow A \cap B.

于是,我们知道,AB \subset A, AB \subset B.

接下来,根据概率的基本性质中的可比性:

A,B 是两个事件,若 A \subset B, 则有:

P(A) \leqslant P(B);

P(B-A)=P(B)-P(A).

于是,我们知道:

P(AB) \leqslant P(A); ①

P(AB) \leqslant P(B). ②

接下来,将 ① 式与 ② 式联立可得:

P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

综上可知,本题的正确选项是:C

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