一、题目
若 $A$, $B$ 为任意两个随机事件，则 ( )
( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.
( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.
( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
二、解析
我们知道，$AB$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\cap$ $B$.
于是，我们知道，$AB$ $\subset$ $A$, $AB$ $\subset$ $B$.
接下来，根据概率的基本性质中的可比性：
设 $A$, $B$ 是两个事件，若 $A$ $\subset$ $B$, 则有：
$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.
于是，我们知道：
$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①
$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②
接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：
$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.
综上可知，本题的正确选项是：$C$.
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