题目
若 [latex]A,B[/latex] 为任意两个随机事件，则 ( )
( A ) [latex]P(AB) \leqslant P(A)P(B)[/latex].
( B ) [latex]P(AB) \geqslant P(A)P(B)[/latex].
( C ) [latex]P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].
( D ) [latex]P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].
解析
我们知道，[latex]AB \Leftrightarrow A \cap B[/latex].
于是，我们知道，[latex]AB \subset A[/latex], [latex]AB \subset B[/latex].
接下来，根据概率的基本性质中的可比性：
设 [latex]A,B[/latex] 是两个事件，若 [latex]A \subset B[/latex], 则有：
[latex]P(A) \leqslant P(B)[/latex];
[latex]P(B-A)=P(B)-P(A)[/latex].
于是，我们知道：
[latex]P(AB) \leqslant P(A)[/latex]; ①
[latex]P(AB) \leqslant P(B)[/latex]. ②
接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：
[latex]P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}[/latex].
综上可知，本题的正确选项是：C
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