通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系

一、前言

通过本文，荒原之梦考研网将带你一起搞明白如下这类问题：

*如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？

**如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？

二、正文

根据罗尔定理，我们知道，若存在：

$$
f(a) = f(b)
$$

则存在 $\xi \in (a, b)$, 使得：

$$
f^{\prime}(\xi) = 0
$$

那么，反过来说就是，若存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$, 则有可能存在：

$$
f(a) = f(b)
$$

当然，也有可能存在 $f(a) \neq f(b)$ 的情况。

于是，若函数 $f(x)$ 有三个不同的零点 $a, b, c$, 则就有可能存在 $\xi_{1} \in (a, b)$, $\xi_{2} \in (b, c)$, 使得：

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) = 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) = 0
\end{cases}
$$

或：

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) = 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) \neq 0
\end{cases}
$$

或：

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) \neq 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) = 0
\end{cases}
$$

或：

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) \neq 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) \neq 0
\end{cases}
$$

即当函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点的时候，其一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 最多有 $2$ 个零点。

类似的，若一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 有两个不同的零点 $\xi_{1}, \xi_{2}$, 则就有可,存在 $\mu \in (\xi_{1}, \xi_{2})$, 使得：

$$
f^{\prime \prime}(\mu) = 0
$$

或：

$$
f^{\prime \prime}(\mu) \neq 0
$$

即当一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 有 $2$ 个零点的时候，二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $1$ 个零点。

接着分析可知，无论二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点还是 $0$ 个零点，三阶导函数 $^{\prime \prime \prime}(x)$ 都不会存在零点。

因此，反推回去就是，若三阶导函数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点，则函数 $f(x)$ 最多存在 $3$ 个零点。

例如，函数 $f(x)$ $=$ $x^{3} + 3x^{2} – 1$ 及其一阶导函数、二阶导函数和三阶导函数的函数图像与零点情况，分别如图 01，02，03，04 所示：

又例如，函数 $g(x)$ $=$ $x^{3}$ 及其一阶导函数、二阶导函数和三阶导函数的函数图像与零点情况，分别如图 05，06，07，08 所示：

通过上面的推导，我们得出规律：
函数每求一次导，其最多可能存在的零点个数就会减少 $1$ 个。

举例就是：

*若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $0$ 个零点，则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $0+1=1$ 个零点，$f^{\prime}(x)$ 最多有 $1+1=2$ 个零点，$f(x)$ 最多有 $2+1 = 3$ 个零点。

**若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点，则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $1+1=2$ 个零点，$f^{\prime}(x)$ 最多有 $2+1=3$ 个零点，$f(x)$ 最多有 $3+1 = 4$ 个零点。

***若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $2$ 个零点，则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $2+1=3$ 个零点，$f^{\prime}(x)$ 最多有 $3+1=4$ 个零点，$f(x)$ 最多有 $4+1 = 5$ 个零点。

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