通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系

一、前言 前言 - 荒原之梦

通过本文,荒原之梦考研网将带你一起搞明白如下这类问题:

*如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点,那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点?

**如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点,那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点?

二、正文 正文 - 荒原之梦

根据罗尔定理,我们知道,若存在:

$$
f(a) = f(b)
$$

则存在 $\xi \in (a, b)$, 使得:

$$
f^{\prime}(\xi) = 0
$$

那么,反过来说就是,若存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi) = 0$, 则有可能存在:

$$
f(a) = f(b)
$$

当然,也有可能存在 $f(a) \neq f(b)$ 的情况。

于是,若函数 $f(x)$ 有三个不同的零点 $a, b, c$, 则就有可能存在 $\xi_{1} \in (a, b)$, $\xi_{2} \in (b, c)$, 使得:

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) = 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) = 0
\end{cases}
$$

或:

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) = 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) \neq 0
\end{cases}
$$

或:

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) \neq 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) = 0
\end{cases}
$$

或:

$$
\begin{cases}
f^{\prime} (\xi_{1}) \neq 0 \\
f^{\prime} (\xi_{2}) \neq 0
\end{cases}
$$

即当函数 $f(x)$ 有 $3$ 个零点的时候,其一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 最多有 $2$ 个零点。

类似的,若一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 有两个不同的零点 $\xi_{1}, \xi_{2}$, 则就有可,存在 $\mu \in (\xi_{1}, \xi_{2})$, 使得:

$$
f^{\prime \prime}(\mu) = 0
$$

或:

$$
f^{\prime \prime}(\mu) \neq 0
$$

即当一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 有 $2$ 个零点的时候,二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $1$ 个零点。

接着分析可知,无论二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点还是 $0$ 个零点,三阶导函数 $^{\prime \prime \prime}(x)$ 都不会存在零点。

因此,反推回去就是,若三阶导函数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点,则函数 $f(x)$ 最多存在 $3$ 个零点。

例如,函数 $f(x)$ $=$ $x^{3} + 3x^{2} – 1$ 及其一阶导函数、二阶导函数和三阶导函数的函数图像与零点情况,分别如图 01,02,03,04 所示:

通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 01.
图 01. $f(x)$ $=$ $x^{3} + 3x^{2} – 1$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 02.
图 02. $f^{\prime}(x)$ $=$ $3x^{2} + 6x$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 03.
图 03. $f^{\prime \prime}(x)$ $=$ $6x$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 04.
图 04. $f^{\prime \prime \prime}(x)$ $=$ $6$

又例如,函数 $g(x)$ $=$ $x^{3}$ 及其一阶导函数、二阶导函数和三阶导函数的函数图像与零点情况,分别如图 05,06,07,08 所示:

通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 05.
图 05. $g(x)$ $=$ $x^{3}$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 06.
图 06. $g^{\prime}(x)$ $=$ $3x^{2}$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 07.
图 07. $g^{\prime \prime}(x)$ $=$ $6x$
通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系 | 荒原之梦考研数学 | 图 08.
图 08. $g^{\prime \prime \prime}(x)$ $=$ $6$

举例就是:

*若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $0$ 个零点,则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $0+1=1$ 个零点,$f^{\prime}(x)$ 最多有 $1+1=2$ 个零点,$f(x)$ 最多有 $2+1 = 3$ 个零点。

**若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点,则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $1+1=2$ 个零点,$f^{\prime}(x)$ 最多有 $2+1=3$ 个零点,$f(x)$ 最多有 $3+1 = 4$ 个零点。

***若 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $2$ 个零点,则 $f^{\prime \prime}(x)$ 最多有 $2+1=3$ 个零点,$f^{\prime}(x)$ 最多有 $3+1=4$ 个零点,$f(x)$ 最多有 $4+1 = 5$ 个零点。


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