不可逆矩阵乘上一个可逆矩阵得不可逆矩阵

一、题目

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & a \\
1 & 0 & b \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$, 三维列向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关, 而 $A \alpha_{1}$, $A \alpha_{2}$, $A \alpha_{3}$ 线性相关, 则参数 $a$ 和 $b$ 应满足什么关系?

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}| \neq 0
$$

又：

$$
|A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}| = 0
$$

于是：

$$
|A| |\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}| = 0 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
0 & 2 & a \\
1 & 0 & b \\
2 & 1 & 0
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
4 b + a = 0
}
$$

---