2023年考研数二第05题解析:参数方程求导、导数存在性定理

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则 ( )

(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在

(B) $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

(C) $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(D) $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

当 $t > 0$ 时:

$$
\begin{cases}
x = 3t \\
y = t \sin t
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
t = \frac{x}{3} \\
y = t \sin t
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y = \frac{x}{3} \sin \frac{x}{3}
}
$$

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当 $t < 0$ 时:

$$
\begin{cases}
x = t \\
y = -t \sin t
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y = -x \sin x
}
$$

当 $x = 0$ 时:

$$
y = \frac{x}{3} \sin \frac{x}{3} \rightarrow y(0^{+}) = 0
$$

$$
y = -x \sin x \rightarrow y(0^{-}) = 0
$$

$$
y(0) = 0
$$

于是可知,函数 $y = f(x)$ 连续。

接着,求一阶导:

$$
y = \frac{x}{3} \sin \frac{x}{3} \Rightarrow \text{ 求导 } \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} + \frac{x}{9} \cos \frac{x}{3} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y^{\prime}(0^{+}) = f^{\prime}(0^{+}) = 0
}
$$

继续:

$$
y = -x \sin x \Rightarrow \text{ 求导 } \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime} = – (\sin x + x \cos x) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
y^{\prime} (0^{-}) = f^{\prime}(0^{-}) = 0
}
$$

由左导数等于右导数可知,$f^{\prime}(0)$ 存在且连续。

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接着,求二阶导:

$$
y^{\prime} = \frac{1}{3} \sin \frac{x}{3} + \frac{x}{9} \cos \frac{x}{3} \Rightarrow \text{ 求导 } \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} = \frac{1}{9} \cos \frac{x}{3} + \frac{1}{9} \cos \frac{x}{3} – \frac{x}{27} \sin \frac{x}{3} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime \prime} (0^{+}) = f^{\prime \prime} (0^{+}) = \frac{2}{9}
}
$$

继续:

$$
y^{\prime} = – (\sin x + x \cos x) \Rightarrow \text{ 求导 } \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime} = – (\cos x + \cos x – x \sin x) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
y^{\prime \prime} (0^{-}) = f^{\prime \prime} (0^{-}) = -2
}
$$

因此,如果将 $y = f(x)$ 的二阶导数作为一个分段函数来看,二阶导函数是存在,但在 $x = 0$ 处,该二阶导函数不连续。但是本题的 (D) 选项不正确,因为 $f^{\prime \prime} (0^{+}) \neq f^{\prime \prime} (0^{-})$, 所以 $f^{\prime \prime} (0)$ 不存在,即 (C) 选项正确。

当 $t > 0$ 时:

$$
\begin{cases}
x = 3t \\
y = t \sin t
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \textcolor{springgreen}{ \frac{\sin t + t \cos t}{3} } \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \textcolor{orangered}{ \frac{1}{3} (2 \cos t – t \sin t) \cdot \frac{1}{3} }
$$

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当 $t < 0$ 时:

$$
\begin{cases}
x = t \\
y = -t \sin t
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \textcolor{springgreen}{ – \sin t – t \cos t } \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \textcolor{orangered}{ -\cos t – \cos t + t \sin t }
$$

又因为,$x \rightarrow 0$ 其实就相当于 $t \rightarrow 0$, 利用上面得到的式子,验证可知,本题正确选项为 C.


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