一、题目
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )
(A) $a<0, b>0$
(C) $a=0, b>0$
(B) $a>0, b>0$
(D) $a=0, b<0$
难度评级：
二、解析 
题目问我们解的有界性，所以，我们首先要确定解的形式。为此，我们需要先求解特征根：
$$
\lambda^{2} + a \lambda + b = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda = \frac{-a \pm \sqrt{a^{2} – 4b}}{2} \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
\lambda_{1} = \frac{-a}{2} + \frac{\sqrt{a^{2} – 4b}}{2}; \\
\lambda_{2} = \frac{-a}{2} – \frac{\sqrt{a^{2} – 4b}}{2}
\end{cases}
}
$$
当 $\lambda$ 为互异实根的时候，解的形式为：
$$
y^{*} = C_{1} \textcolor{orangered}{ e^{\lambda_{1} x} } + C_{2} \textcolor{orangered}{ e^{\lambda_{2} x} }
$$
当 $\lambda$ 为二重实根的时候，解的形式为：
$$
y^{*} = (C_{1} + C_{2} x) \textcolor{orangered}{ e^{\lambda x} }
$$
当 $\lambda = \alpha \pm \beta i$ 为虚根的时候，解的形式为：
$$
y^{*} = C_{1} \textcolor{orangered}{ e^{\alpha x} } \cos \beta x + C_{2} \textcolor{orangered}{ e^{\alpha x} } \sin \beta x
$$
从上面的三种解的形式可以看出，由于函数 $y = e^{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是一个无界函数，因此，只要我们保证解中不存在关于 $e$ 的部分，并利用三角函数的有界性，保证解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界了。
为此，$\lambda$ 需要是一个虚数，并且 $\alpha = 0$, 于是：
$$
\begin{cases}
a = 0; \\
a^{2} – 4b < 0
\end{cases}
\Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
a = 0; \\
b > 0
\end{cases}
}
$$
综上可知，正确选项为：C.