一、题目
判断函数 $f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 的奇偶性。
二、解析
本题用到的知识点
$\log_{a}(MN)$ $=$ $\log_{a}M$ $+$ $\log_{a}N$
在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：
x=0:0.01:10; semilogy(x,log(x))
可以绘制出 $y$ $=$ $\ln(x)$ 的图像：
有图像可以看到，自然对数 $\ln(x)$ 只在 $(0,+\infty)$ 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 $X$ 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 $g(x)$ $=$ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ 的定义域来确定 $f(x)$ 的定义域。
因为：
$\sqrt{1+x^{2}}$ $>$ $\sqrt{x^{2}}$ $>$ $|x|$ $>$ $0$.
则：
当 $x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$ 时 $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $>$ $0$ 满足自然对数函数 $\ln(x)$ 对定义域的要求，而且，当 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0$ , 也满足奇函数“当 $f(x)$ 在原点处有定义时，$f(0)$ $=$ $0$”的要求。
到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 $y$ 轴对称，还是关于原点对称的问题。
由于：
$f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$
$f(-x)$ $=$ $\ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})$
则：
$f(x)$ $+$ $f(-x)$ $=$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)$ $+$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)$ $=$ $\ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]$ $=$ $\ln(1+x^{2}-x^{2})$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0$
上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，$f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 是一个奇函数。
此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 $f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 的图像如下：
由图像我们也可以看出这是一个奇函数。
EOF