使用定义判断函数的奇偶性

题目

判断函数 f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码:

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 y=ln(x) 的图像:

图 1

有图像可以看到,自然对数 ln(x) 只在 (0,+\infty) 的区间里有定义,不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 X 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数,因此,我们还需要结合 g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} 的定义域来确定 f(x) 的定义域。

因为:

\sqrt{1+x^{2}}>\sqrt{x^{2}}>|x|>0

则:

x\in (-\infty,+\infty) x+\sqrt{1+x^{2}} > 0 满足自然对数函数 ln(x) 对定义域的要求,而且,当 x=0 时, f(x)=ln(1)=0 , 也满足奇函数“当 f(x) 在原点处有定义时, f(0)=0 ”的要求。

到这里,定义域的问题解决了,下面要解决的是函数是关于 y 轴对称,还是关于原点对称的问题。

由于:

f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})

则:

f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)+ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)=ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]=ln(1+x^{2}-x^{2})=ln(1)=0

上面的运算结果符合奇函数的定义,因此, f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 是一个奇函数。

此外,使用 WolframAlpha 画出的函数 f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) 的图像如下:

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

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