使用定义判断函数的奇偶性

题目

判断函数 [latex]f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) [/latex] 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

[latex]log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N [/latex]

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码:

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 [latex]y=ln(x) [/latex] 的图像:

图 1

有图像可以看到,自然对数 [latex]ln(x)[/latex] 只在 [latex](0,+\infty)[/latex] 的区间里有定义,不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 X 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数,因此,我们还需要结合 [latex] g(x)=x+\sqrt{1+x^{2}} [/latex] 的定义域来确定 f(x) 的定义域。

因为:

[latex] \sqrt{1+x^{2}}>\sqrt{x^{2}}>|x|>0 [/latex]

则:

当 [latex] x\in (-\infty,+\infty) [/latex] 时 [latex] x+\sqrt{1+x^{2}} > 0 [/latex] 满足自然对数函数 [latex] ln(x) [/latex] 对定义域的要求,而且,当 [latex] x=0 [/latex] 时, [latex] f(x)=ln(1)=0 [/latex] , 也满足奇函数“当 [latex] f(x) [/latex] 在原点处有定义时, [latex] f(0)=0 [/latex] ”的要求。

到这里,定义域的问题解决了,下面要解决的是函数是关于 y 轴对称,还是关于原点对称的问题。

由于:

[latex] f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) [/latex]

[latex] f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^{2}}) [/latex]

则:

[latex] f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)+ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)=ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]=ln(1+x^{2}-x^{2})=ln(1)=0 [/latex]

上面的运算结果符合奇函数的定义,因此, [latex] f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) [/latex] 是一个奇函数。

此外,使用 WolframAlpha 画出的函数 [latex] f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^{2}}) [/latex] 的图像如下:

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

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