矩阵 A 与其变体一定具有相同的特征向量吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 下列命题中正确的是哪个？

(A) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(B) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(C) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}^{2}$ 的特征向量,那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

(D) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $2 \boldsymbol{A}$ 的特征向量, 那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量

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二、解析

对于 $\begin{cases}
(\lambda E – A^{\top})x = 0 \\
(\lambda E – A^{*})x = 0 \\ (\lambda E – A^{2})x = 0 \\ \textcolor{springgreen}{(\lambda E – A)x = 0} \end{cases}$ 而言，由于矩阵 $\begin{cases} \lambda E – A^{\top} \\ \lambda E – A^{*} \\
\lambda E – A^{2}
\end{cases}$ 和矩阵 $\textcolor{springgreen}{\lambda E – A}$ 不一定相等，因此，得出来的解 “$x$” 也就不一定相等，进而特征向量不一定相等——A, B, C 选项都错。

对于 D 选项，我们有：

$$
2A \alpha = \lambda \alpha \Rightarrow
$$

$$
A \alpha = \frac{\lambda}{2} \alpha
$$

因此，$\alpha$ 是矩阵 A 属于特征值 $\frac{\lambda}{2}$ 的特征向量。

综上可知，D 选项正确。

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