系数矩阵不满秩的齐次线性方程组有无穷多解

一、题目

已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\
2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=0 \\
3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\end{array}\right.$, 有无穷多解, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & a \\ 3 & 1 & -1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

化简的时候，保持第一行的第一个元素不为零，优先将其他行的第一个元素化为零，之后再尝试把第二行的第二个元素化为零，以此类推，直到最后一行：

$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 0 & -5 & a+4 \\ 0 & -5 & 5\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
a+4=5 \Rightarrow a=1
$$

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