借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小

一、题目

已知 $I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$, $I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$, 则 $I_{1}$ $I_{2}$ 和 $1$ 的大小关系如何？

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二、解析

$y = \sin x$ 和 $y = x$ 的函数图像如图 01 所示：

于是：

$$
\frac{\sin x}{x}<1, \quad \frac{x}{\sin x}>1 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x \Rightarrow I_{1}<I_{2}
$$

接着，我们需要构造基点：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} \mathrm{~d} x=1
$$

于是，接下来就是要比较 $\frac{\sin x}{x}$ 与 $\frac{2}{\pi}$ 的大小（或者比较 $\frac{x}{\sin x}$ 与 $\frac{2}{\pi}$ 的大小）。

方法一

当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时：

$$
\frac{\sin x}{x}=\frac{2}{\pi}
$$

于是，我们需要判断 $\frac{\sin x}{x}$ 的单调性：

$$
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}=\frac{x \cos x-\sin x}{x^{2}} \Rightarrow x^{2} \geqslant 0 \Rightarrow
$$

$$
g(x)=x \cos x-\sin x \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=\cos x-x \sin x-\cos x \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(x)=-x \sin x
$$

因此，当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时：

$$
g^{\prime}(x)<0
$$

又：

$$
g(0)=0
$$

因此，当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时：

$$
g(x)<0
$$

进而：

$$
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\prime}<0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{2}{\pi}<\frac{\sin x}{x}<1 \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
I_{1}>1 \Rightarrow
$$

$$
I_{2}>I_{1}>1
$$

方法二

比较 $\frac{\sin x}{x}$ 和 $\frac{2}{\pi}$ 的大小其实就是比较 $\sin x$ 和 $\frac{2}{\pi} x$ 的大小。

又有 $y = \sin x$ 和 $y = \frac{2}{\pi}x$ 的函数图像：

于是可知，在区间 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上，有：

$$
\sin x>\frac{2}{\pi} x \Rightarrow
$$

即：

$$
\frac{\sin x}{x}>\frac{2}{\pi} \Rightarrow
$$

$$
I_{1}>1
$$

于是：

$$
I_{2}>I_{1}>1
$$

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