定积分比较大小：找到“基点”很重要

一、题目

请比较 $M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$, $N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$, $K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ 的大小。

难度评级：

二、解析

首先：

$$
M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} d x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x^{2}+2 x}{1+x^{2}} d x=
$$

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x=\pi+0=\pi
$$

在定积分比较大小的题目中，我们不需要完整的计算出每个积分的值，只需要选取一个“基点”，让其他定积分和这个基点做对比即可。这本题中，我们可以选取 M 的值作为基点。

又：

$$
N \Rightarrow e^{x}>1+x \Rightarrow \frac{1+x}{e^{x}}<1 \Rightarrow
$$

$$
N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{e^{x}} d x<\pi
$$

又：

$$
K \Rightarrow x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \sqrt{\cos x}>0 \Rightarrow
$$

$$
1+\sqrt{\cos x}>1 \Rightarrow k=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) d x>\pi
$$

于是：

$$
k>M>N
$$

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