极值点的一阶导等于零，但一阶导等于零的点不一定是极值点

一、题目

已知，$f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $F(x)$ $=$ $\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t$ $(x \geqslant 1)$ 的极小值点是 $x=?$

难度评级：

二、解析

基础知识：一阶等于零的点不一定是极值点

变形，区分常数和变量：

$$
F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\left(\frac{2}{x}+\ln x\right) \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~d} t – \int_{1}^{x}\left(\frac{2}{t}+\ln t\right) f(t) \mathrm{~d} t
$$

求导：

$$
F^{\prime}(x)=
$$

$$
\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)^{\prime} \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~d} t + \left(\frac{2}{x}+\ln x\right) f(x)-\left(\frac{2}{x}+\ln x\right) f(x)
$$

$$
\Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=\left(\frac{-2}{x^{2}}+\frac{1}{x}\right) \cdot \int_{1}^{x} f(x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(x)=\left(\frac{x-2}{x^{2}}\right) \cdot \int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$

注意：虽然令 $F^{\prime}(x)=0$ 可得 $x=1$ 或 $x=2$. 但是，$x = 1$ 是位于区间边缘上的点，无法形成“先增后减”或者“先减后增”的趋势，因此不可能是极值点。

由于：

$$
\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{~d} t \geqslant 0
$$

因此，$F^{\prime}(x)$ 的正负性就由 $\frac{x-2}{x^{2}}$ 的正负性决定：

$$
F^{\prime}(x) \rightleftarrows \frac{x-2}{x^{2}}\left\{\begin{array}{ll} <0, & 1 < x < 2 \\ =0, & x = 2 \\ > 0, & x>2 \end{array} \right.
$$

由此会导致函数 $F(x)$ 先减后增，因此 $x=2$ 一定是唯一的极小值点。

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