第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点

一、题目

已知，$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是该函数的什么间断点？

难度评级：

二、解析

首先：

$$
x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow \arctan \frac{0^{+}-1}{0^{+}} \rightarrow-\infty
$$

$$
x \rightarrow 0^{-} \Rightarrow \arctan \frac{0^{-}-1}{0^{-}} \rightarrow+\infty
$$

$$
\arctan (\infty)=\infty \Rightarrow f(x)=\frac{1}{0^{-}}=0
$$

又：

$$
x \rightarrow 1^{+} \Rightarrow \arctan \frac{1^{+}-1}{1^{+}} \rightarrow 0^{-}
$$

$$
x \rightarrow 1^{-} \Rightarrow \arctan \frac{1^{-}-1}{1^{-}}=0^{+}
$$

$$
f(x)=\frac{1}{0}=\infty
$$

综上可知，$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。

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