求解定积分时灵活变换积分上下限也很重要

一、题目

已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$ 和 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ 这两个条件，则 $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=?$

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二、解析

首先，我们先根据积分上线限绘制出如图 01 所示的示意图：

根据上图，我们可以有如下操作：

$$
\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x + \int_{2}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x = \textcolor{yellow}{\int_{2}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x } – \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

由于积分上下限 $\mathrm{d} x \in (2, 3)$, 于是积分上下限 $\mathrm{d} (x+2) \in (2, 3)$, 又因为 $(x+ 2)^{\prime} = x^{\prime}$, 则当函数自变量为 $x + 2$ 时，就有积分上线限 $x \in (1, 2)$ $\Rightarrow$

$$
\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x = \int_{\textcolor{red}{2}}^{\textcolor{red}{3}} f(\textcolor{orange}{x+2}) \mathrm{~ d}(\textcolor{red}{x+2}) – \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x = \int_{\textcolor{red}{0}}^{\textcolor{red}{1}} f(\textcolor{orange}{x+2}) \mathrm{~ d} \textcolor{red}{x} – \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1}[f(x+2)-f(x)] \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{1} x \mathrm{~ d} x=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}.
$$

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