怎么通过伴随矩阵求解原矩阵？这个关于伴随矩阵的核心公式一定要牢记！

一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}=\left[\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{A}=?$

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二、解析

已知，关于伴随矩阵的核心公式如下：

$$
\textcolor{orange}{
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
}
$$

根据上面的公式，我们可以推导出：

$$
\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} \tag{1}
$$

$$
A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot A^{*} \tag{2}
$$

$$
A = (A^{-1})^{-1}=(\frac{1}{|A|} \cdot A^{*})^{-1} = |A| (A^{*})^{-1} \tag{3}
$$

于是，先求解 $|A^{*}|$:

$$
\left|A^{*}\right|=\left|\begin{array}{cccc}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{ \textbf{-4} } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \textcolor{green}{ \textbf{-1} }\end{array}\right| =
$$

$$
\left|A^{*}\right|=(\textcolor{green}{ \textbf{-1} }) \cdot(-1)^{4+4}\left|\begin{array}{ccc}4 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{ \textbf{-4} } \end{array}\right|=
$$

$$
(\textcolor{green}{ \textbf{-1} }) \cdot (\textcolor{orange}{ \textbf{-4} }) \cdot(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ccc}4 & -2 \\ -3 & 1\end{array}\right|=
$$

Tips:

注意上面用绿色和橙色标记的数字所代表的运算准则。

$$
4(4-6)=
$$

$$
-8=|A|^{4-1}=
$$

$$
|A|^{3} \Rightarrow|A|=-2
$$

于是可知：

$$
A^{-1}=\frac{-1}{2} \cdot A^{*}=\left[\begin{array}{cccc}-2 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]
$$

进而，可以求得 $A$:

$$
\left(A^{-1} \mid E\right) \Rightarrow
$$

$$
(E \mid A) \Rightarrow
$$

$$
{\left[\begin{array}{cccccccc}-2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow}
$$

$$
{\left[\begin{array}{llllllll}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 01 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right] \Rightarrow}
$$

$$
A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以利用公式 $A = |A| (A^{*})^{-1}$ 求解，结果和上面是一样的。

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