求解以 Y 轴为区间绕 Y 轴旋转的曲线所形成的立体的体积

一、题目

由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 可以表示成什么？

示意图：

难度评级：

二、解析

本题对应的公式为：

$$
V_{y}=\pi \int_{c}^{d} x^{2}(y) \mathrm{~ d} y
$$

又：

$$
y=1-(x-1)^{2}=(x-1)^{2}=1-y \Rightarrow
$$

$$
(x-1)^{2}= \pm \sqrt{1-y} \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{1-y}
$$

其中：

$$
x \in(0,1) \Rightarrow x=1-\sqrt{1-y}
$$

$$
x \in(1,2) \Rightarrow x=1+\sqrt{1-y}
$$

因此：

$$
V_{1}=\pi \int_{0}^{1}(1+\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~ d} y
$$

$$
V_{2}=\pi \int_{0}^{1}(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~ d} y
$$

于是：

$$
V=V_{1}-V_{2} \Rightarrow
$$

$$
V=\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{~ d} y
$$

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