这个二元函数一点处的导数你会求解吗？

一、题目

已知 $f (x, y) = {\begin{array}{cc} x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{array}$ 则：

$f_{x y}^{''} (0, 0) = ?$

$f_{y x}^{''} (0, 0) = ?$

难度评级：

本题要求解的是函数在 $(0, 0)$ 点处的导数，但是， $x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 并不是定义在 $(0, 0)$ 点处的函数式，因此，我们需要借助一点处导数的定义完成本题的求解——

关于二元函数一点处导数的定义，我们可以参考《一元函数一点处导数的定义》进行。

由题可知：

$f_{x}^{'} (0, y) = \frac{f (x, y) - f (0, y)}{x - 0} =$

$\frac{x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} - 0}{x} = y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow x = 0 \Rightarrow$

$y \cdot \frac{- y^{2}}{y^{2}} = - y .$

于是：

$f_{x y}^{''} (0, 0) = {\frac{d}{d y} f_{x}^{'} (0, y) |}_{y = 0} \Rightarrow$

$f_{x y (0, 0)}^{''} = - 1$

接着：

$f_{y}^{'} (x, 0) = \frac{f (x, y) - f (x, 0)}{y - 0} =$

$x \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} = x \Rightarrow$

$f_{y x}^{''} (x, 0) = \frac{d}{d x} f_{y}^{'} (0, 0) = 1.$

当然，在已知 $f_{x y}^{''} (0, 0) = - 1$ , 求解 $f_{y x}^{''} (0, 0)$ 的值时，我们也可以通过如下步骤直接得出：

由于对调 $x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 会得到：

$y x \frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2} + x^{2}} = - x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

因此，由 $f_{x y}^{''} (0, 0) = - 1$ 可知：

$f_{y x}^{''} (0, 0) = - (- 1) = 1.$