嵌套变限积分增强版：内层积分的被积函数和积分上下限中都含有外层被积变量

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ $=$ $1$, $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$, 则 $F^{\prime}(2) = ?$

注意：本题中的“嵌套积分”只是对一个一元函数做了两次积分运算，并不是二元函数所对应的“二重积分”——嵌套积分与二重积分就像复合函数和二元函数。

难度评级：

二、解析

观察可知，本题的关键就是对 $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ 进行求导运算，然后将 $t = 2$ 代入求导所得的式子即可。

但是我们不能直接对 $F(t)$ $=$ $\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y$ 进行求导，因为外层积分的变量 $t$ 和内侧积分的变量 $y$ 都同时存在于 $\int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ 的积分上下限中，直接代入会导致式子失效：

$$
F(t) = \int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} y \textcolor{red}{\nRightarrow}
$$

$$
F^{\prime}(t) = f(t) \int_{t}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x
$$

同时，我们也无法通过进行变量替换的方式消除上述问题，因此，只能尝试对这个式子进行变形后再处理。

而变形处理的思路就是：变限积分的积分符号除了可以使用求导的方式消去之外，还可以直接使用传统的积分运算的方式消去——因此，我们可以先尝试消去本题的嵌套积分中的外层积分，而所用的具体方法就是分部积分法。

首先，由于：

$$
g(y)=\int_{y}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow g(y)=-\int_{t}^{y} f(x) \mathrm{~ d} x
$$

$$
g^{\prime}(y)=-f(y)
$$

于是：

$$
F(t)=\int_{1}^{t}\left[f(y) \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
F(t)=-\int_{1}^{t}\left[\int_{y}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \mathrm{~ d} \left[\int_{y}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$

注意：上一步只是使用分部积分法做了一个等价变形，并没有使用变量替换，因此不需要改变原式中 “$\int_{1}^{t}$” 的积分上下限。

$$
F(t)=\left.\frac{-1}{2}\left[\int_{y}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right]^{2}\right|_{y=1} ^{y=t} \Rightarrow
$$

$$
F(t)=\frac{-1}{2}\left[0-\left(\int_{1}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right)^{2}\right] \Rightarrow
$$

$$
F(t)=\frac{1}{2}\left[\int_{1}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right]^{2}
$$

进而：

$$
F^{\prime}(t)=\frac{1}{2} \cdot 2\left[\int_{1}^{t} f(x) \mathrm{~ d} x\right] \cdot f(t)
$$

于是：

$$
t=2 \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(2)=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{~ d} x \cdot f(2)=1 \cdot f(2)=f(2).
$$

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