求解二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法

一、前言

本文给出了求解形如下面这样的二阶常系数线性齐次微分方程通解的方法：

$$
y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y = 0
$$

其中，$p$ 和 $q$ 为常数。

解 题 思 路 简 图

graph LR
	A(特征方程) --> B(特征值) --> C(根据特征值分类讨论)

二、正文

根据齐次微分方程写出对应的特征方程：

$$
y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2} + p \lambda + q = 0
$$

进而求出对应的特征值：

$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda_{1} = ? \\
\lambda_{2} = ?
\end{matrix}\right.
$$

Next

之后，根据特征值，分以下三种情况对该齐次微分方程的通解进行讨论：

① 当 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 为互异实根时，通解为：

$$
y(x) = C_{1} e^{\lambda_{1} x} + C_{2} e^{\lambda_{2} x}
$$

② 当 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ 时，通解为：

$$
y(x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{\lambda_{1} x}
$$

③ 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 时，通解为：

$$
y(x) = e^{\alpha x}(C_{1} \cos \beta x + C_{2} \sin \beta x)
$$

其中，$C_{1}$ 和 $C_{2}$ 表示待定常数。

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