初等变换对矩阵秩的影响(C012)

问题

对矩阵做 是否会 该矩阵的 或者

选项

[A].   会影响

[B].   不影响

[C].   初等列变换会影响行秩

[D].   初等行变换会影响行秩


答案

无论是初等行变换还是初等列变换,都 影响矩阵的秩。

而且,由于矩阵的行秩和列秩一定相等,因此,换种说法就是,初等变换 影响矩阵的行秩或列秩。

矩阵的行秩和列秩(C012)

问题

矩阵的秩分为行秩和列秩两种,那么, 之间有什么关系?

选项

[A].   行秩 $\neq$ 列秩

[B].   行秩 $<$ 列秩

[C].   行秩 $>$ 列秩

[D].   行秩 $=$ 列秩


答案

行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩

矩阵的行秩和列秩是相等的,统称为“秩”——也就是说,对于一个矩阵而言,其秩对应的值是 的。

矩阵的秩与相关推论

一、定义

有关矩阵 的标准 如下:

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵,如果 $\boldsymbol{A}$ 中 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 $\textcolor{white}{0}$, 而 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时,规定零矩阵的秩为 $0$.

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矩阵秩的定义(C012)

问题

已知,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则,关于矩阵 ,以下说法中,正确的是哪个?

选项

[A].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式都不为零

[B].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ 阶子式都不为零

[C].   存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式为零

[D].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为零


答案

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式 ,且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式

构成矩阵子式的元素是否必须相邻?(C012)

问题

根据矩阵子式的定义,构成一个矩阵 是否必须是 的?

选项

[A].   必须相邻

[B].   不必须相邻

[C].   必须不相邻


答案

构成矩阵子式的元素 ,例如,对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言,$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 其子式。

矩阵的子式(C012)

问题

根据矩阵子式的定义, 以下选项中,哪一个是矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 的

选项

[A].   $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

[B].   $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

[C].   $\begin{vmatrix} 3\\ 6 \end{vmatrix}$

[D].   $\begin{vmatrix} 1 & 2 \end{vmatrix}$


答案

$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

矩阵的等价与秩(C011)

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ ,则矩阵的 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$ 之间是什么关系?

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$

[B].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$ $=$ $0$

[C].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $-r(\boldsymbol{B})$

[D].   $r(\boldsymbol{A})$ $\neq$ $r(\boldsymbol{B})$


答案

$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$

矩阵的等价与同型(C011)

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵,则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 一定是 矩阵?

选项

[A].   等价与同型无关

[B].   不一定是

[C].   一定不是

[D].   一定是


答案

矩阵 矩阵

等价矩阵的性质:$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$(C011)

问题

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价,则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得:$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.
则,上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质?

选项

[A].   $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆

[B].   $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[C].   $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[D].   $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$


答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均

矩阵等价的定义(C011)

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是什么?

选项

[A].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[B].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[C].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[D].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$


答案

如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过 可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$