分类： 线性代数

线性代数 | 荒原之梦

初等变换对矩阵秩的影响（C012）

问题

对矩阵做 初 等 变 换 是否会 影 响 该矩阵的 行 秩 或者 列 秩 ？

选项

[A].   会影响

[B].   不影响

[C].   初等列变换会影响行秩

[D].   初等行变换会影响行秩


答案

无论是初等行变换还是初等列变换，都 不 会 影响矩阵的秩。

而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换 不 会 影响矩阵的行秩或列秩。

矩阵的行秩和列秩（C012）

问题

矩阵的秩分为行秩和列秩两种，那么， 行 秩 和 列 秩 之间有什么关系？

选项

[A].   行秩 $\neq$ 列秩

[B].   行秩 $<$ 列秩

[C].   行秩 $>$ 列秩

[D].   行秩 $=$ 列秩


答案

行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩

矩阵的行秩和列秩是相等的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是 唯 一 的。

矩阵的秩与相关推论

一、定义

有关矩阵 秩 的标准 定 义 如下：

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\boldsymbol{A}$ 中 存 在 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 不 为 $\textcolor{white}{0}$, 而 所 有 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 全 为 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.

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矩阵秩的定义（C012）

问题

已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则，关于矩阵 秩 的 定 义 ，以下说法中，正确的是哪个？

选项

[A].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式都不为零

[B].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ 阶子式都不为零

[C].   存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式为零

[D].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为零


答案

存 在 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式 不 为 零 ，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 所 有 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式 全 为 零

构成矩阵子式的元素是否必须相邻？（C012）

问题

根据矩阵子式的定义，构成一个矩阵 子 式 的 元 素 是否必须是 相 邻 的？

选项

[A].   必须相邻

[B].   不必须相邻

[C].   必须不相邻


答案

构成矩阵子式的元素 可 以 不 相 邻 ，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均 是 其子式。

矩阵的子式（C012）

问题

根据矩阵子式的定义, 以下选项中，哪一个是矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 的 子 式 ？

选项

[A].   $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

[B].   $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

[C].   $\begin{vmatrix} 3\\ 6 \end{vmatrix}$

[D].   $\begin{vmatrix} 1 & 2 \end{vmatrix}$


答案

$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$

矩阵的等价与秩（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等 价 ，则矩阵的 秩 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$ 之间是什么关系？

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$

[B].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$ $=$ $0$

[C].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $-r(\boldsymbol{B})$

[D].   $r(\boldsymbol{A})$ $\neq$ $r(\boldsymbol{B})$


答案

$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$

矩阵的等价与同型（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是 否 一定是 同 型 矩阵？

选项

[A].   等价与同型无关

[B].   不一定是

[C].   一定不是

[D].   一定是


答案

等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵

等价矩阵的性质：$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$（C011）

问题

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得：$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.
则，上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质？

选项

[A].   $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆

[B].   $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[C].   $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[D].   $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$


答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均 可 逆

矩阵等价的定义（C011）

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等 价 的 定 义 是什么？

选项

[A].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[B].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[C].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[D].   矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$


答案

如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过 有 限 次 初 等 变 换 可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等 价