2017年考研数二第08题解析

题目

已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
0& 2& 1\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}
2& 1& 0\\
0& 2& 0\\
0& 0& 1
\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}
1& 0& 0\\
0& 2& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $?$

$$A. A 与 C 相似,B 与 C 相似$$

$$B. A 与 C 相似,B 与 C 不相似$$

$$C. A 与 C 不相似,B 与 C 相似$$

$$D. A 与 C 不相似,B 与 C 不相似$$

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[线代]如何判断i重特征值对应的线性无关的特征向量的个数

判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如,当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时,则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩,即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。

下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。

下面的理解可能不够严谨,做出这样的理解只是为了方便记忆公式,仅供参考。

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2017年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵,$P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵,使得 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}) = ?$

$$A. \alpha_{1} + \alpha_{2}$$

$$B. \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$$

$$C. \alpha_{2} + \alpha_{3}$$

$$D. \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$$

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2018年考研数二第14题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵,$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$

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[线代]分块矩阵的运算

  • 对分块矩阵进行运算时,把每个分块都看作矩阵中单个的元素处理即可。

解释:

如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块,这样做是不会改变矩阵的运算法则的,因此,当分块中不止一个元素时,矩阵的运算法则也不会改变。

  • 对由分块矩阵构成的大矩阵进行转置的时候,不仅要在分块的程度上进行转置,而且每个分块本身也要进行转置。

解释:

如果把一个矩阵的整体看成一个分块,即一个矩阵只有一个分块,这样做是不会改变矩阵的运算法则的,自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时,根据上面的第一条性质,这个分块可以看作是一个单独的元素,一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变(对于单个的元素而言,其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后,元素位置实际上未发生改变),之后,为了遵循矩阵的转置法则,这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。

EOF

[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质

名词解释

  • 行满秩

矩阵有效的行数,也就是线性无关的行的个数。

  • 列满秩

矩阵有效的列数,也就是线性无关的列的个数。

  • 满秩

一个矩阵行满秩或者列满秩(满足一个即可)就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是,并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然,只要一个矩阵行满秩(列满秩),那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数(列数)的方阵了,自然也不会存在阶数大于其行数(列数)的非零方阵。

  • 行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵,都有如下性质:

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解:由于转置并不改变矩阵的秩,因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

性质

若 $A$ 【行】满秩,则:

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩,则:

$$
R(AB)=R(B).
$$

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2018年考研数二第07题解析

题目

下列矩阵中,与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为 $?$

$$A. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$B. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$C. \begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

$$D. \begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

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2019年考研数二第08题解析

题目

设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵,$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵,若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$

$$A. y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}$$

$$B. y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}$$

$$C. y_{1}^{2} – y_{2}^{2} – y_{3}^{2}$$

$$D. – y_{1}^{2} – y_{2}^{2} – y_{3}^{2}$$

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