考研线性代数思维导图:03-行列式按行(列)展开定理 [XD-20250201]

版本号:XD-20250201(2025 考研线性代数二第 01 版)

涉及的知识点

01. 用代数余子式求行列式的值
02. 代数余子式的“错位得零”性质

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考研线性代数思维导图:02-余子式和代数余子式 [XD-20250201]

版本号:XD-20250201(2025 考研线性代数二第 01 版)

涉及的知识点

01. 余子式的定义
02. 代数余子式的定义
03. 代数余子式与元素位置无关定理

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考研线性代数思维导图:01-行列式的性质 [XD-20250201]

版本号:XD-20250201(2025 考研线性代数二第 01 版)

涉及的知识点

01. 转置行列式
02. 行列式外的数乘
03. 行列式的拆分
04. 含有全零行或列的行列式
05. 含有相等行或列的行列式

06. 行或列成比例的行列式
07. 行列式内的数乘
08. 交换行列式的两行或两列
09. 行列式的本质

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对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列,再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$

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二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负,还反映了二次型矩阵的秩

一、题目题目 - 荒原之梦

已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$

难度评级:

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不对称的矩阵不是正定矩阵,主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个?

A. $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{lll}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -6\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6\end{array}\right)$

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2023年考研数二第16题解析:非齐次线性方程组、矩阵的子式、行列式的按行按列展开

一、题目题目 - 荒原之梦

已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_{1}+x_{3}=1 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0 \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数。

若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$. 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=?$

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用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E

一、前言 前言 - 荒原之梦

根据我目前掌握的信息,中文互联网上至少从 2012 年开始,就有人询问下面这类线性代数问题:

§ 如果 $AB=A$, 那么可以得出 $B=E$ 吗?

§ 为什么由 $AB = A$ 不可以推出 $B=E$?

虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题,但是得到的解释要么涉及高等代数的概念,要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论,直接说:$AB = A$ $\nRightarrow$ $B = E$——

上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问:

  1. 为什么由 $AB=A$ 不一定能推出 $B=E$?
  2. $B$ 应该是一个怎样的矩阵?

在本文中,荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识,解释明白上面这两个疑问,大家继续往下看哦。

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