[线代](非齐/齐)次线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系

前言

根据题目可以知道,本文【主要】分析的是“【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”。

在这里,我首先给出我的分析结果:他们之间【没有关系】。

即:【非齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间没有确切的关系。如果要确定一个非齐次线性方程组究竟有多少线性无关的特解,则【可能】需要对非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的结构有更深入的研究,但这不在本文的分析范围之内。

本文将通过一个具体的例子验证我的上述判断并由此延伸,给出一个关于“【齐次】线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”——同样地,他们之间也是【没有关系】。

继续阅读“[线代](非齐/齐)次线性方程组系数矩阵自由未知数的个数与其线性无关的特解的个数之间的关系”

2012年考研数二第08题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵,$P$ 为三阶可逆矩阵,且 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$. 若 $P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, $Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$. 则 $Q^{-1}AQ=?$

$$
A. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

$$
B. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

$$
C. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$

$$
D. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

继续阅读“2012年考研数二第08题解析”

2012年考研数二第07题解析

题目

设 $\alpha_{1} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
c_{1}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1\\
c_{2}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{3} = \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
c_{3}
\end{pmatrix}$, $\alpha_{4} = \begin{pmatrix}
-1\\
1\\
c_{4}
\end{pmatrix}$, 其中 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $c_{4}$ 为任意常数,则下列向量组中线性相关的是 $?$

$$
A. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}
$$

$$
B. \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}
$$

$$
C. \alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$

$$
D. \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}
$$

继续阅读“2012年考研数二第07题解析”

2013年考研数二第07题解析

题目

设 $A$, $B$, $C$ 均为 $n$ 阶矩阵,若 $AB=C$, 且 $B$ 可逆, 则 $?$

$$
A. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
$$

$$
B. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
$$

$$
C. 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
$$

$$
D. 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
$$

继续阅读“2013年考研数二第07题解析”

[线代]对矩阵进行初等行或列变换时的一个计算技巧

前言

对矩阵进行初等行变换或者初等列变换是解线性代数题目的一个基本操作之一。通常情况下,如果我们被允许任意使用初等行变换以及初等列变换而且进行这些初等变换的目标是将一个矩阵的特定元素化成 $0$ 或者 $1$ 的话,那么,我们一般可以通过观察法得知该如何进行所需的初等变换。但是,当我们只能使用初等行变换或者只能使用初等列变换,而且做这些初等行或列变换的目标是把一个矩阵化成另一个矩阵(“另一个矩阵”中的元素可能是任意实数),不是简单地转化成 $0$ 或 $1$ 的时候,在某些情况下,就很难直接通过观察法获知该如何进行这些初等行或列变换。

在本文中,我将通过一个例子,简单介绍一种我在做题时发现的做初等行或列变换的计算技巧。

继续阅读“[线代]对矩阵进行初等行或列变换时的一个计算技巧”