2019年考研数二第17题解析:一阶线性微分方程、旋转体的体积

题目

设函数 y(x) 是微分方程 yxy=12xex22 满足条件 y(1)=e 的特解.

()y(x);

() 设平面区域 D=(x,y)|1x2,0yy(x), 求 Dx 轴旋转所得旋转体的体积.

解析

()

由于:

yxy=12xex22.

于是,根据一阶线性微分方程的求解公式,可得:

y=[12xex22exdxdx+C]exdx

y=[12xex22ex22dx+C]ex22

y=[12x(ex22ex22)dx+C]ex22

y=[12xdx+C]ex22

y=(x+C)ex22.

又:

y(1)=e.

于是:

(1+C)e12=e

(1+C)e=e

C=0.

即:

y(x)=xex22.

()

由题可得:

V=π12y2(x)dx

V=π12(xex22)2dx

V=π12(xex2)dx

(ex2)=ex22x

V=π12ex2|12

V=π2(e4e).


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