2019年考研数二第17题解析:一阶线性微分方程、旋转体的体积 题目 设函数 y(x) 是微分方程 y‘–xy=12xex22 满足条件 y(1)=e 的特解. Ⅰ(Ⅰ) 求 y(x); Ⅱ(Ⅱ) 设平面区域 D=(x,y)|1⩽x⩽2,0⩽y⩽y(x), 求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积. 解析 第 Ⅰ(Ⅰ) 问 由于: y‘–xy=12xex22. 于是,根据一阶线性微分方程的求解公式,可得: y=[∫12xex22⋅e∫−xdxdx+C]e−∫−xdx⇒ y=[∫12xex22⋅e−x22dx+C]ex22⇒ y=[∫12x(ex22⋅e−x22)dx+C]ex22⇒ y=[∫12xdx+C]ex22⇒ y=(x+C)ex22. 又: y(1)=e. 于是: (1+C)e12=e⇒ (1+C)e=e⇒ C=0. 即: y(x)=x⋅ex22. 第 Ⅱ(Ⅱ) 问 由题可得: V=π∫12y2(x)dx⇒ V=π∫12(x⋅ex22)2dx⇒ V=π∫12(x⋅ex2)dx⇒ (ex2)‘=ex2⋅2x⇒ V=π⋅12⋅ex2|12⇒ V=π2(e4–e). 相关文章: 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 2019年考研数二第16题解析:待定系数法计算不定积分 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式 2017年考研数二第21题解析:不定积分、分离变量、直线方程 2012年考研数二第19题解析:一阶线性微分方程、拐点 1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析(三种方法) 2011年考研数二第21题解析:二重积分、分部积分 2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程 2015年考研数二第19题解析:变限积分、零点、一阶导数 2018年考研数二第20题解析:积分、微分、直线方程 2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心 2011年考研数二第20题解析:旋转体的体积、一重定积分 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限