2019年考研数二第16题解析:待定系数法计算不定积分

题目

求不定积分:

3x+6(x1)2(x2+x+1)dx.

解析

本题需要用到待定系数法计算不定积分,关于该方法的详细介绍,可以参考这篇文章:

[高数]不定积分待定系数法的基础:有理真分式分解定理

令:

3x+6(x1)2(x2+x+1)dx=

[Ax+B(x1)2+Cx+Dx2+x+1]dx

上式中的 Ax+B(x1)2 不易计算积分,因此还需要继续拆分。

[A(x1)+A+B(x1)2+Cx+Dx2+x+1]dx

[A(x1)+A+B(x1)2+Cx+Dx2+x+1]dx

E=A+B

[A(x1)+E(x1)2+Cx+Dx2+x+1]dx

A(x1)+E(x1)2+Cx+Dx2+x+1=3x+6(x1)2(x2+x+1)

A(x1)2(x2+x+1)+E(x1)(x2+x+1)+(Cx+D)(x1)3(x1)3(x2+x+1)=

3x+6(x1)2(x2+x+1)

A(x1)(x2+x+1)+E(x2+x+1)+(Cx+D)(x1)2(x1)2(x2+x+1)=

3x+6(x1)2(x2+x+1)

A(x1)(x2+x+1)+E(x2+x+1)+(Cx+D)(x1)2=

3x+6

(AxA+E)(x2+x+1)+(Cx+D)(x2+12x)=3x+6

(Ax3+Ax2+AxAx2AxA+Ex2+Ex+E)+

(Cx3+Cx2Cx2+Dx2+D2Dx)=

3x+6

(Ax3A+Ex2+Ex+E)+

(Cx3+Cx2Cx2+Dx2+D2Dx)=

3x+6

(A+C)x3+(D+E2C)x2+(C+E2D)x+(D+EA)=

3x+6

{A+C=0;D+E2C=0;C+E2D=3;D+EA=6.

{A=2;E=3;C=2;D=1.

于是:

3x+6(x1)2(x2+x+1)dx=

[2(x1)+3(x1)2+2x+1x2+x+1]dx=

2ln|x1|3x1+ln(x2+x+1)+C.

其中 C 为任意常数.


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