2019年考研数二第16题解析:待定系数法计算不定积分 题目 求不定积分: ∫3x+6(x–1)2(x2+x+1)dx. 解析 本题需要用到待定系数法计算不定积分,关于该方法的详细介绍,可以参考这篇文章: 《[高数]不定积分待定系数法的基础:有理真分式分解定理》 令: ∫3x+6(x–1)2(x2+x+1)dx= ∫[Ax+B(x–1)2+Cx+Dx2+x+1]dx⇒ ▾ 上式中的 Ax+B(x–1)2 不易计算积分,因此还需要继续拆分。 ▾ ∫[A(x−1)+A+B(x–1)2+Cx+Dx2+x+1]dx⇒ ∫[A(x–1)+A+B(x–1)2+Cx+Dx2+x+1]dx⇒ 令令E=A+B⇒ ∫[A(x–1)+E(x–1)2+Cx+Dx2+x+1]dx⇒ ▾ A(x–1)+E(x–1)2+Cx+Dx2+x+1=3x+6(x–1)2(x2+x+1)⇒ ▾ A(x–1)2(x2+x+1)+E(x−1)(x2+x+1)+(Cx+D)(x−1)3(x–1)3(x2+x+1)= 3x+6(x–1)2(x2+x+1)⇒ ▾ A(x–1)(x2+x+1)+E(x2+x+1)+(Cx+D)(x−1)2(x–1)2(x2+x+1)= 3x+6(x–1)2(x2+x+1)⇒ ▾ A(x–1)(x2+x+1)+E(x2+x+1)+(Cx+D)(x−1)2= 3x+6⇒ ▾ (Ax–A+E)(x2+x+1)+(Cx+D)(x2+1–2x)=3x+6⇒ ▾ (Ax3+Ax2+Ax–Ax2–Ax–A+Ex2+Ex+E)+ (Cx3+Cx–2Cx2+Dx2+D–2Dx)= 3x+6⇒ ▾ (Ax3–A+Ex2+Ex+E)+ (Cx3+Cx–2Cx2+Dx2+D–2Dx)= 3x+6⇒ ▾ (A+C)x3+(D+E–2C)x2+(C+E–2D)x+(D+E–A)= 3x+6⇒ ▾ {A+C=0;D+E–2C=0;C+E–2D=3;D+E–A=6.⇒ {A=−2;E=3;C=2;D=1. 于是: ∫3x+6(x–1)2(x2+x+1)dx= ∫[−2(x–1)+3(x–1)2+2x+1x2+x+1]dx= −2ln|x–1|–3x−1+ln(x2+x+1)+C. 其中 C 为任意常数. 相关文章: 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 2019年考研数二第17题解析:一阶线性微分方程、旋转体的体积 2017年考研数二第21题解析:不定积分、分离变量、直线方程 2016年考研数二第12题解析 2018年考研数二第19题解析:条件极值、拉格朗日乘数法 2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解 2018年考研数二第20题解析:积分、微分、直线方程 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2016年考研数二第23题解析:相似对角化、特征值、特征向量、线性表示 2016年考研数二第17题解析:利用偏导数求函数极值 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2018年考研数二第23题解析:矩阵的秩、非齐次线性方程组、可逆矩阵 2019年考研数二第15题解析:复合函数求导、分段函数、极值、极限 加减法在不定积分中的运用方式(B006) 2018年考研数二第22题解析:二次型、齐次线性方程组、二次型的规范型 整体微分与积分的相互抵消关系(B006) 2017年考研数二第23题解析:二次型、标准型、特征值与特征向量 2018年考研数二第07题解析