首先，能够进行分式分解的分式，必须是有理分式，且是真分式。
下面将从“什么是有理分式？”，“什么是真分式？”和“分式分解定理”这三个方面逐一讲解。
什么是有理分式？
有理分式是指一个分式的分子和分母都是多项式的分式。
例如，$3x^{2} + 2x + 1$ 就是一个多项式，而 $\frac{x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}$ 和 $\frac{3x^{2} + 2x + 1}{x + 1}$ 都是有理分式。
什么是真分式？
真分式是指分子的最高次数小于分母的最高次数的分式。
例如，$\frac{x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}$ 就是一个真分式（而且是一个有理真分式），$\frac{3x^{2} + 2x + 1}{x + 1}$ 则不是一个真分式。
分式分解定理
设 $\frac{A(x)}{B(x)}$ 为有理真分式，其中 $B(x) = b_{1}(x) \cdot b_{2}(x)$, 且 $b_{1}(x)$ 和 $b_{2}(x)$ 之间除了 $1$ 之外没有其他公约式 【$b_{1}(x)$ 和 $b_{2}(x)$ 互素】，则一定存在且唯一存在 $a_{1}(x)$ 和 $a_{2}(x)$, 使得下式成立：
$$
\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)} \cdot \frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}.
$$
其中，$\frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)}$ 和 $\frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}$ 均为有理真分式。
当然，在上面的背景下，也可以进行如下扩展：
如果 $B(x) = b_{1}(x) \cdot b_{2}(x) \cdot b_{3}(x)$, 则：
$$
\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)} \cdot \frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)} \cdot \frac{a_{3}(x)}{b_{3}(x)}.
$$
其中，$\frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)}$, $\frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}$ 和 $\frac{a_{3}(x)}{b_{3}(x)}$ 均为有理真分式。
更多的扩展以此类推即可。