[高数]不定积分待定系数法的基础:有理真分式分解定理

首先,能够进行分式分解的分式,必须是有理分式,且是真分式。

下面将从“什么是有理分式?”,“什么是真分式?”和“分式分解定理”这三个方面逐一讲解。

什么是有理分式?

有理分式是指一个分式的分子和分母都是多项式的分式。

例如,$3x^{2} + 2x + 1$ 就是一个多项式,而 $\frac{x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}$ 和 $\frac{3x^{2} + 2x + 1}{x + 1}$ 都是有理分式。

什么是真分式?

真分式是指分子的最高次数小于分母的最高次数的分式。

例如,$\frac{x + 1}{3x^{2} + 2x + 1}$ 就是一个真分式(而且是一个有理真分式),$\frac{3x^{2} + 2x + 1}{x + 1}$ 则不是一个真分式。

分式分解定理

设 $\frac{A(x)}{B(x)}$ 为有理真分式,其中 $B(x) = b_{1}(x) \cdot b_{2}(x)$, 且 $b_{1}(x)$ 和 $b_{2}(x)$ 之间除了 $1$ 之外没有其他公约式 【$b_{1}(x)$ 和 $b_{2}(x)$ 互素】,则一定存在且唯一存在 $a_{1}(x)$ 和 $a_{2}(x)$, 使得下式成立:

$$
\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)} \cdot \frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}.
$$

其中,$\frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)}$ 和 $\frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}$ 均为有理真分式。

当然,在上面的背景下,也可以进行如下扩展:

如果 $B(x) = b_{1}(x) \cdot b_{2}(x) \cdot b_{3}(x)$, 则:

$$
\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)} \cdot \frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)} \cdot \frac{a_{3}(x)}{b_{3}(x)}.
$$

其中,$\frac{a_{1}(x)}{b_{1}(x)}$, $\frac{a_{2}(x)}{b_{2}(x)}$ 和 $\frac{a_{3}(x)}{b_{3}(x)}$ 均为有理真分式。

更多的扩展以此类推即可。