2016年考研数二第21题解析：积分、变限积分、二重积分、零点

题目

编号：A2016221

已知函数 $f(x)$ 在 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上连续，在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x–3\pi }$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上的平均值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内存在唯一零点.

解析

由题可得：

$$f^{‘}(x)=\frac{\cos x}{2x–3\pi }\Rightarrow$$

$$f(x)={\int }_0^x\frac{\cos t}{2t–3\pi }\mathrm{d}t.$$

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

$f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi }{2}]$ 上的平均值为：

$$\frac{{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x}{\frac{3\pi }{2}–0}\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x\mathrm{①}\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[xf(x){|}_0^{\frac{3\pi }{2}}–{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}x{f}^{‘}(x)\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[\frac{3\pi }{2}f(\frac{3\pi }{2})–{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}x\cdot \frac{\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[\frac{3\pi }{2}{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x–{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{x\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\frac{3\pi }{2}\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x–{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{x\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{(3\pi –2x)\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }[\frac{-1}{2}{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{(2x–3\pi )\cos x}{2x–3\pi }\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\cos x\mathrm{d}x]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[\cos x{|}_0^{\frac{3\pi }{2}}]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[-1-0]=\frac{1}{3\pi }.$$

当然，对于上面的 $\mathrm{①}$ 式，还有一种计算方法：

$$\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}f(x)\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{\cos t}{2t–3\pi }\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{次}\mathrm{序}，\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{如}\mathrm{图}01\mathrm{所}\mathrm{示}\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\cos t}{2t–3\pi }\mathrm{d}t{\int }_t^{\frac{3\pi }{2}}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\cos t}{2t–3\pi }\cdot (\frac{3\pi }{2}–t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\frac{2}{3\pi }\cdot \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\cos t}{2t–3\pi }\cdot (3\pi –2t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{\cos t}{2t–3\pi }\cdot (2t–3\pi )\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\cos t\mathrm{d}t]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[\cos t{|}_0^{\frac{3\pi }{2}}]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{3\pi }[-1-0]=\frac{1}{3\pi }.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

分析可知，要证明 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 内存在唯一零点，首先要证明“零点存在”，其次还要证明“零点唯一”。

由前述已知：

$$f^{‘}(x)=\frac{\cos x}{2x–3\pi }.$$

由于在 $(0,\frac{3\pi }{2})$ 区间内，$2x–3\pi ⩽0$ 始终成立，于是，$f^{‘}(x)$ 的正负就可以通过 $\cos x$ 的正负进行判断：由 $\cos x$ 在区间 $(0,\frac{3\pi }{2})$内的函数图像可知：

• 当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$f^{‘}(x)<0$, 即函数 $f(x)$ 在此区间内单调递减；
• 当 $x\in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ 时，$f^{‘}(x)>0$, 即函数 $f(x)$ 在此区间内单调递增。

由于 $f(0)=0$, 因此，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内始终不大于零，且 $f(\frac{\pi }{2})<0$.

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问的计算结果，以及积分中值定理可知，一定有 $\xi \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$, 使得 $f(\xi )=\frac{1}{3\pi }>0$ 成立。

综上，在 $(\frac{\pi }{2},\xi )$ 之间一定存在函数 $f(x)$ 的至少一个零点。而且，函数 $f(x)$ 在除了区间 $(\frac{\pi }{2},\xi )$ 之外的其余定义域上不可能存在其他零点。

又由于函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$ 上是单调的，且 $(\frac{\pi }{2},\xi )\in$ $(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$, 因此，函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{\pi }{2},\xi )$ 上存在且唯一存在一个零点。