2016年考研数二第16题解析:一重积分、变限积分、导数

题目

编号:A2016216

设函数 f(x)= 01|t2x2|dt (x>0), 求 f(x), 并求 f(x) 的最小值.

解析

在正式开始本题的计算之前,我们首先要明确:

  1. 对于函数 f(x) 而言,变量是 x, 且 x 的取值范围是 (0,+);
  2. 对于积分 01|t2x2|dt 而言,变量是 t, 且由积分上下限可知,t 的取值范围是 (0,1). x 在这里需要视为常数;
  3. 虽然我们在计算积分 01|t2x2|dt 时,需要将 x 视作常数,但 x 并不是真的常数,而是一个“事实上”的变量,加上需要做积分的式子中有绝对值的存在,因此,我们必须对 xt 的相对大小做讨论。

由于 t(0,1), 则当 x(0,1) 时,有:

f(x)=0x(x2t2)dt+x1(t2x2)dt

f(x)=(tx213t3)|0x+(13t3tx2)|x1

f(x)=x313x3+13x213x3+x3

f(x)=43x3x2+13,x(0,1).

由于 t(0,1), 则当 x(1,+) 时,有:

f(x)=01(x2t2)dt

f(x)=(tx213t3)|01

f(x)=x213,x[1,+).

综上,有:

f(x)={43x3x2+13,0<x<1;x213,x1.

有了函数 f(x), 就可以计算出其导函数 f(x) 了,不过,在接下来的求导过程中要注意,由于函数 f(x) 是一个分段函数,因此,我们需要使用导数的定义,验证其分段点 x=1 处的导数是否存在。

x(0,1) 时,有:

f(x)=4x22x.

x>1 时,有:

f(x)=2x.

x=1 时,有:

f(1)=

limx1f(x)f(1)x1

limx1(43x3x2+13)(23)x1

limx1(43x3x2+13)(23)x1

limx143x3x213x1

limx14x22x1

limx1421=2.

f+(1)=

limx1+(x213)23x1

limx1+x21x1

limx1+2x1=

limx1+21=2.

即:

f(1)=f+(1)=2.

综上,有:

f(x)={4x22x,0<x<1;2,x=1;2x,x>1.

又由于,当 x=1 时,2x=2, 于是:

f(x)={4x22x,0<x<1;2x,x1.

接着,若令 f(x)=0, 由于当 x1 时,2x0, 于是:

4x22x=0

x=12.(x=0)

又,当 x<12 时,f(x)<0, 当 x>12 时,f(x)>0, 于是,当 x=12 时,函数 f(x) 取得最小值,且最小值为:

f(12)=14.


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