2013年考研数二第16题解析：计算旋转体的体积

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_x$, $V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_y=10V_x$, 求 $a$ 的值。

解析

首先，当 $x=0$ 时，对 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 而言，$y=0$; 当 $x>0$ 时，对 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 而言，$y>0$, 且 $x$ 的值越大，对应的 $y$ 的值也越大，据此，我们可以绘制出 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 的大致图像，以及平面区域 $D$ 的大致形状。

函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在平面直角坐标系中的图像如图 01 所示：

于是，由题可知：

$$V_x=\pi {\int }_0^a(x^{\frac{1}{3}}{)}^{2}dx.$$

$$V_y=2\pi {\int }_0^{a}x|x^{\frac{1}{3}}|dx.$$

又：

$$V_y=10V_x.$$

于是：

$$2\pi {\int }_0^{a}x|x^{\frac{1}{3}}|dx=10\pi {\int }_0^a(x^{\frac{1}{3}}{)}^{2}dx\Rightarrow$$

$${\int }_0^{a}x(x^{\frac{1}{3}})dx=5{\int }_0^a(x^{\frac{1}{3}}{)}^{2}dx\Rightarrow$$

$${\int }_0^a{x}^{\frac{4}{3}}dx=5{\int }_0^a{x}^{\frac{2}{3}}dx\Rightarrow$$

$$\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}{|}_0^a=5\cdot \frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}{|}_0^a\Rightarrow$$

$$\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}{|}_0^a=3x^{\frac{5}{3}}{|}_0^a\Rightarrow$$

$$\frac{3}{7}{a}^{\frac{7}{3}}=3a^{\frac{5}{3}}\Rightarrow$$

$$a^{\frac{7}{3}}=7a^{\frac{5}{3}}\Rightarrow$$

$$a^{\frac{5}{3}}\cdot a^{\frac{2}{3}}=7a^{\frac{5}{3}}\Rightarrow$$

$$a^{\frac{2}{3}}=7\Rightarrow$$

$$(a^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}=7^{\frac{3}{2}}\Rightarrow$$

$$a=7^{\frac{3}{2}}\Rightarrow$$

$$a=\sqrt{7\cdot 7\cdot 7}\Rightarrow$$

$$a=7\sqrt{7}.$$