题目
$(Ⅰ)$ 证明方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ $(n>1 且为整数)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根；
$(Ⅱ)$ 记 $(Ⅰ)$ 中的实根为 $x_{n}$, 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限。
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x = 1$, 可令：
$$
f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x – 1.
$$
其中，当我们把 “$x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{2} + x$” 这部分写成 “$x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n}$” 的形式后可以看出，这部分就是一个以 “$x$” 为公比，”$x$” 为首项的等比数列。
于是，当 $x = \frac{1}{2}$ 时：
$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} =
$$
$$
\frac{\frac{1}{2} [1-(\frac{1}{2})^{n}]}{1-\frac{1}{2}} = 1 – \frac{1}{2^{n}}.
$$
当 $x = 1$ 时：
$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} =
$$
$$
1+1+ \cdot \cdot \cdot + 1 = n.
$$
于是：
$$
f(\frac{1}{2}) = 1- \frac{1}{2^{n}} – 1 = – \frac{1}{2^{n}};
$$
$$
f(1) = n-1.
$$
由 $n>1$ 且为整数时，可知：
$$
\left\{\begin{matrix}
f(\frac{1}{2}) = – \frac{1}{2^{n}} < 0;\\ f(1) = n-1 > 0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
即：
$$
f(\frac{1}{2}) \cdot f(1) < 0.
$$
由函数的零点定理可知，至少存在一个 $x_{n} \in (\frac{1}{2}, 1)$, 使得 $f(x_{n})=0$ 成立。
又由 $f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{3} + x^{2} + x – 1$ 知：
$$
f(x) = x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x^{[n-(n-3)]} + x^{[n-(n-2)]} + x^{[n-(n-1)]} + 1.
$$
于是：
$$
f^{‘}(x) =
$$
$$
nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \cdot \cdot \cdot + [n-(n-3)]x^{(3-1)} +
$$
$$
[n-(n-2)]x^{(2-1))} + [n-(n-1)-1]x^{(1-1)}. ①
$$
又由题知，当 $x \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时：
$$
x > 0;
$$
$$
n>0;
$$
$$
n-1>0;
$$
$$
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
$$
$$
[n-(n-3)] = 3 > 0;
$$
$$
[n-(n-2)] = 2 > 0;
$$
$$
[n-(n-1)] = 1 > 0.
$$
于是，可知，当 $x \in (\frac{1}{2}, 1)$ 时：
$$
f^{‘}(x) > 0.
$$
注：
[1]. 其实 $①$ 式可以简写为 $f^{‘}(x) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + \cdot \cdot \cdot + 2x + 1$ 这样的形式，写成入如上述 $①$ 式这样的形式只是为了方便讨论 $f^{‘}(x)$ 的正负性。
于是可知，$f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 单调递增。
综合以上结论可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个零点，故方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内有且仅有一个实根。
第 $(Ⅱ)$ 问
若记第 $(Ⅰ)$ 问中的实根为 $x_{n}$, 则由第 $(Ⅰ)$ 问，可知：
$$
x_{n} \in (\frac{1}{2}, 1).
$$
即，数列 ${x_{n}}$, $(n=1,2,3…)$ 是一个有界数列。
把 $x_{n}$ 代入到题目所给的方程 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 中，得：
$$
x_{n}^{n} + x_{n}^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} – 1 = 0. ②
$$
若将 $n$ 看成 $n+1$, 则有：
$$
x_{n+1}^{n+1} + x_{n+1}^{n} + x_{n+1}^{n-1} \cdot \cdot \cdot + x_{n+1} – 1 = 0. ③
$$
由于 $x>0$ 且 $n>0$, 于是，可知：
$$
x_{n+1}^{n+1} > 0.
$$
于是，由 $③$ 式，可得：
$$
x_{n+1}^{n} + x_{n+1}^{n-1} \cdot \cdot \cdot + x_{n+1} – 1 < 0. ④
$$
接着，对比 $②$ 式和 $④$ 式，可知：
$$
x_{n+1}^{n} < x_{n}^{n} \Rightarrow
$$
$$
x_{n+1} < x_{n}.
$$
同理，我们可证：
$$
x_{n+2}<x_{n+1};
$$
$$
x_{n+3}<x_{n+2}
$$
$$
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
$$
于是，由数学归纳法可知，数列 ${x_{n}}$ 是一个单调递减的数列。
又由前述得结论可知，数列 ${x_{n}}$ 还是一个上下均有界的数列，因此，数列 ${x_{n}}$ 是一个收敛数列，我们可将其极限设为：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = A.
$$
由于在 $x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1$ 中，等号左边的部分其实是一个等比数列，即：
$$
x^{n} + x^{n-1} + \cdot \cdot \cdot + x = 1 \Rightarrow
$$
$$
x + x^{2} + \cdot \cdot \cdot + x^{n-1} + x^{n} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{x_{n}[1-(x_{n})^{n}]}{1-x_{n}} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{A(1-A^{n})}{1-A} = 1.
$$
又由于 $\frac{1}{2}<x_{n}<1$, 即 $\frac{1}{2}<A<1$, 于是，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$A^{n} \rightarrow 0$, 即：
$$
\frac{A(1-A^{n})}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{A(1-0)}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{A}{1-A} = 1 \Rightarrow
$$
$$
A = \frac{1}{2}.
$$
即：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \frac{1}{2}.
$$