2012年考研数二第21题解析：数列、零点定理、极限

题目

$(\mathrm{Ⅰ})$ 证明方程 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1$ $(n>1\mathrm{且}\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数})$ 在区间 $(\frac{1}{2},1)$ 内有且仅有一个实根；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 记 $(\mathrm{Ⅰ})$ 中的实根为 $x_n$, 证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在，并求此极限。

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x^2+x=1$, 可令：

$$f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x^2+x–1.$$

其中，当我们把 “$x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x^2+x$” 这部分写成 “$x+x^2+\cdot \cdot \cdot +x^{n-1}+x^n$” 的形式后可以看出，这部分就是一个以 “$x$” 为公比，”$x$” 为首项的等比数列。

于是，当 $x=\frac{1}{2}$ 时：

$$x+x^2+\cdot \cdot \cdot +x^{n-1}+x^n=$$

$$\frac{\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{2}{)}^n]}{1-\frac{1}{2}}=1–\frac{1}{2^n}.$$

当 $x=1$ 时：

$$x+x^2+\cdot \cdot \cdot +x^{n-1}+x^n=$$

$$1+1+\cdot \cdot \cdot +1=n.$$

于是：

$$f(\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2^n}–1=–\frac{1}{2^n};$$

$$f(1)=n-1.$$

由 $n>1$ 且为整数时，可知：

$$\{\begin{array}{c}f(\frac{1}{2})=–\frac{1}{2^n}<0;\\ f(1)=n-1>0.\end{array}\Rightarrow$$

即：

$$f(\frac{1}{2})\cdot f(1)<0.$$

由函数的零点定理可知，至少存在一个 $x_n\in (\frac{1}{2},1)$, 使得 $f(x_n)=0$ 成立。

又由 $f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x^3+x^2+x–1$ 知：

$$f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x^{[n-(n-3)]}+x^{[n-(n-2)]}+x^{[n-(n-1)]}+1.$$

于是：

$$f^{‘}(x)=$$

$$n{x}^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\cdot \cdot \cdot +[n-(n-3)]x^{(3-1)}+$$

$$[n-(n-2)]x^{(2-1))}+[n-(n-1)-1]x^{(1-1)}.\mathrm{①}$$

又由题知，当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时：

$$x>0;$$

$$n>0;$$

$$n-1>0;$$

$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$$

$$[n-(n-3)]=3>0;$$

$$[n-(n-2)]=2>0;$$

$$[n-(n-1)]=1>0.$$

于是，可知，当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时：

$$f^{‘}(x)>0.$$

注：

[1]. 其实 $\mathrm{①}$ 式可以简写为 $f^{‘}(x)=n{x}^{n-1}+(n-1)x^{n-2}+\cdot \cdot \cdot +2x+1$ 这样的形式，写成入如上述 $\mathrm{①}$ 式这样的形式只是为了方便讨论 $f^{‘}(x)$ 的正负性。

于是可知，$f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2},1)$ 单调递增。

综合以上结论可知，函数 $f(x)$ 在区间 $(\frac{1}{2},1)$ 内有且仅有一个零点，故方程 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1$ 在区间 $(\frac{1}{2},1)$ 内有且仅有一个实根。

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

若记第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问中的实根为 $x_n$, 则由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问，可知：

$$x_n\in (\frac{1}{2},1).$$

即，数列 $x_n$, $(n=1,2,3\dots )$ 是一个有界数列。

把 $x_n$ 代入到题目所给的方程 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1$ 中，得：

$$x_n^n+x_n^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x_n–1=0.\mathrm{②}$$

若将 $n$ 看成 $n+1$, 则有：

$$x_{n+1}^{n+1}+x_{n+1}^n+x_{n+1}^{n-1}\cdot \cdot \cdot +x_{n+1}–1=0.\mathrm{③}$$

由于 $x>0$ 且 $n>0$, 于是，可知：

$$x_{n+1}^{n+1}>0.$$

于是，由 $\mathrm{③}$ 式，可得：

$$x_{n+1}^n+x_{n+1}^{n-1}\cdot \cdot \cdot +x_{n+1}–1<0.\mathrm{④}$$

接着，对比 $\mathrm{②}$ 式和 $\mathrm{④}$ 式，可知：

$$x_{n+1}^n<x_n^n\Rightarrow$$

$$x_{n+1}<x_n.$$

同理，我们可证：

$$x_{n+2}<x_{n+1};$$

$$x_{n+3}<x_{n+2}$$

$$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$$

于是，由数学归纳法可知，数列 $x_n$ 是一个单调递减的数列。

又由前述得结论可知，数列 $x_n$ 还是一个上下均有界的数列，因此，数列 $x_n$ 是一个收敛数列，我们可将其极限设为：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A.$$

由于在 $x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1$ 中，等号左边的部分其实是一个等比数列，即：

$$x^n+x^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +x=1\Rightarrow$$

$$x+x^2+\cdot \cdot \cdot +x^{n-1}+x^n=1\Rightarrow$$

$$\frac{x_n[1-(x_n{)}^n]}{1-x_n}=1\Rightarrow$$

$$\frac{A(1-A^n)}{1-A}=1.$$

又由于 $\frac{1}{2}<x_n<1$, 即 $\frac{1}{2}<A<1$, 于是，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$A^n\to 0$, 即：

$$\frac{A(1-A^n)}{1-A}=1\Rightarrow$$

$$\frac{A(1-0)}{1-A}=1\Rightarrow$$

$$\frac{A}{1-A}=1\Rightarrow$$

$$A=\frac{1}{2}.$$

即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\frac{1}{2}.$$