2011年考研数二第02题解析

题目

设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(0)=0$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{2}f(x)–2f(x^3)}{x^3}=?$

$$A.-2f^{‘}(0)$$

$$B.-f^{‘}(0)$$

$$C.f^{‘}(0)$$

$$D.0$$

解析

由题可得：

$$f^{‘}(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}.$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{2}f(x)–2f(x^3)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{2}f(x)}{x^3}–\underset{x\to 0}{lim}\frac{2f(x^3)}{x^3}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}–\underset{x\to 0}{lim}\frac{2f(x^3)}{x^3}=$$

$$f^{‘}(0)–2f^{‘}(0)=$$

$$-f^{‘}(0).$$

综上可知，正确选项为 $B$.

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