题目
计算 $\lim_{n \rightarrow \infty} n ( \frac{1}{1+n^{2}} + \frac{1}{2^{2}+n^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n^{2}+n^{2}} ) = ?$
解析
类似本题这样的式子，常见的解法有两种，一种是【放缩夹逼】，另一种就是【转化成定积分的定义】。
首先来看本题能不能用放缩夹逼求解：
$$
\frac{n \times n}{n^{2}+n^{2}} \leqslant \frac{n}{1+n^{2}} + \frac{n}{2^{2}+n^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \leqslant \frac{n \times n}{1+n^{2}}
$$
但是，当 $n \rightarrow \infty$ 时：
$$
\frac{n \times n}{n^{2}+n^{2}} = \frac{1}{2};
$$
$$
\frac{n \times n}{1+n^{2}} = 1.
$$
由于 $\frac{1}{2} \neq 1$, 因此，本题不能使用放缩夹逼法求解。
于是，尝试将该问题转换成定积分的定义问题来解决。
使用定义积分的定义解决该类问题一般是转换成 $[0,1]$ 区间内的积分问题，因为当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \rightarrow 0$, $\frac{n}{n} \rightarrow 1$, 正好相当于把 $[0,1]$ 区间分成了 $n$ 份，分别求面积，之后再求和，与定义积分的定义有相似之处。当然，根据具体问题的不同，也可能不是在 $[0,1]$ 区间内求积分，但基本思想是相似的。
将问题转换成定积分的定义问题来解决有固定的套路，如下：
首先，把原式中的可变项用 $i$ 表示并写出通式：
$$
\frac{n}{i^{2} + n^{2}}, i = 1,2,3 … n.
$$
此时可以看到，$n$ 与 $i$ 的幂次齐了，接着就可以将上式变形，凑出 $\frac{i}{n}$:
$$
\frac{n}{i^{2} + n^{2}} =
$$
$$
\frac{n}{\frac{i^{2}}{n^{2}} + \frac{n^{2}}{n^{2}}} \times \frac{1}{n^{2}} =
$$
$$
\frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^{2}} \times \frac{1}{n}.
$$
于是：
$$
\frac{n}{1+n^{2}} + \frac{n}{2^{2}+n^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} =
$$
$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^{2}} \times \frac{1}{n} \Rightarrow
$$
由于是对含 $i$ 的式子求和，因此，不含 $i$ 的式子可以分离出来，放到求和符号的外面：
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^{2}}. ①
$$
又因为，定积分的定义式如下：
$$
\int_{a}^{b} f(x)dx=
$$
$$
\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i}.
$$
其中，$\lambda = \max (\Delta x_{1}, \Delta x_{2}, … , \Delta x_{n})$.
于是，我们知道，在 $①$ 式中，$\frac{1}{n}$ 就相当于 $\Delta x_{i}$. $\frac{1}{n}$ 就是把长度为 $1$ 的积分区间划分成 $n$ 份。
而 $\frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^{2}}$ 则就相当于被积函数 $f(x)$, 其中 $\frac{i}{n}$ 相当于 $x$. 由于 $0<\frac{i}{n}<1$, 于是，积分区间为 $[0,1]$.
于是：
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + (\frac{i}{n})^{2}} =
$$
$$
\int_{0}^{1} (\frac{1}{1+x^{2}}) dx =
$$
$$
\arctan 1 – \arctan 0 =
$$
$$
\frac{\pi}{4} – 0 = \frac{\pi}{4}.
$$
P.S:
对于此类问题，什么时候用【放缩夹逼】，什么时候用【定积分的公式】？
当组成分母的各项的次幂都相等且组成分子的各项的次幂也都相等的时候，可以尝试用【定积分的公式】，否则，尝试用【放缩夹逼】。
综上可知，正确答案为 $\frac{\pi}{4}$.
EOF