2013年考研数二第14题解析

题目

设 $A=(a_{ij})$ 是三阶非零矩阵，$|A|$ 为 $A$ 的行列式，$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，若 $a_{ij}+A_{ij}=0(i,j=1,2,3)$, 则 $|A|=?$

解析

本题要我们计算 $|A|$ 的具体值，在这种要求计算数值的情况下，一般都需要找到一个关于 $|A|$ 的等式才可以解出来。

另外一方面，做线性代数的题目和做一些高数题目的不同点就是，在做线性代数的题目时，一定要注意挖掘题目【隐含】的条件。而要挖掘出【隐含条件】就要从题目给出的条件出发联系出来相关的条件。例如，在本题中提到了代数余子式，课本中用到了代数余子式的地方就是伴随矩阵 $A^{}$,\mathrm{因}\mathrm{此}，\mathrm{伴}\mathrm{随}\mathrm{矩}\mathrm{阵}$A^{}$ 就成为了一个我们可能会用到的【隐含条件】。

由题知：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]$$

但是 $A+A^{\ast }$ 无法利用 $a_{ij}+A_{ij}=0$ 这个条件，于是考虑使用 $A^{\mathrm{\top }}$:

$$A^{\mathrm{\top }}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right]$$

由于 $a_{ij}+A_{ij}=0$, 于是：

$$A^{\mathrm{\top }}+A^{\ast }=0.$$

接下来有两个思路，一个是：

$$|A^{\mathrm{\top }}+A^{\ast }|=0$$

但是通过上式，无法得出关于 $|A|$ 的等式，因此，上面这个思路无法走通。但是，由于得出 $A^{\top} + A^{} = |0|$\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{的}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{中}，\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{已}\mathrm{经}\mathrm{成}\mathrm{功}\mathrm{利}\mathrm{用}\mathrm{了}\mathrm{题}\mathrm{目}\mathrm{中}\mathrm{给}\mathrm{出}\mathrm{的}\mathrm{条}\mathrm{件}，\mathrm{因}\mathrm{此}，$A^{\top} + A^{} = |0|$ 这个等式应该是解题过程中必须的，于是，我们从另一个角度出发利用这个等式，即：

$$A^{\mathrm{\top }}=–A^{\ast }\Rightarrow$$

$$|A^{\mathrm{\top }}|=|-A^{\ast }|.$$

又：

$$|a^{\mathrm{\top }}|=|A|;$$

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

注意：计算过程中不要漏掉 【$-1$】，考研填空题中很多题目都喜欢在计算过程中加入 【$-1$】，漏掉了就会算错，要特别注意。

于是：

$$|A^{\mathrm{\top }}|=|-A^{\ast }|\Rightarrow$$

$$|A|=|(-1)|A|A^{-1}|\Rightarrow$$

$$|A|=[(-1)|A|{]}^3\frac{1}{|A|}\Rightarrow$$

$$|A|=(-1{)}^3|A{|}^2\Rightarrow$$

$$|A|=(-1)|A{|}^2.$$

于是：

$$|A|=0;$$

或者：

$$|A|=-1$$

又由题知，$|A|\ne 0$, 于是：

$$|A|=-1.$$

综上可知，正确答案为 $-1$.

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