2013年考研数二第10题解析

题目

设函数 $f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt$, 则 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $y=0$ 处的导数 $\frac{dx}{dy}{|}_{y=0}=?$

解析

高数中的反函数与高中数学中的反函数不同的一点就是，高数中的反函数只是 $x$ 与 $y$ 的“角色”发生了改变：

原函数中的自变量 $x$ 变成了反函数中的因变量 $x$;

原函数中的因变量 $y$ 变成了反函数中的自变量 $y$.

但是，“角色”发生改变后，并不要求 $x$ 与 $y$ 对换位置。

因此，反函数的导函数 $\frac{dx}{dy}$ 就是原函数的导函数 $\frac{dy}{dx}$ 的倒数。

于是，有：

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$f^{‘}(x)=$$

$$\sqrt{1-e^x}\Rightarrow$$

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\sqrt{1-e^x}}.$$

又，当 $y=0$ 时，有：

$${\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt=0\Rightarrow$$

$$x=-1.$$

于是：

$$\frac{dx}{dy}=$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}.$$

注意：虽然我们还可以对上述结果继续做一些变形，使得写出来的答案更加简洁好看一些，但是，这里还是不要继续变形为好。首先，如果前面的计算无误的话，改卷时的标准答案中一定有上面这个结果，但却不一定有我们变形化简出来的结果，因为，不同的化简方法得到的结果可能不同；另外，每多做一步计算就多了一些计算错误的风险，增加了产生错误的风险又浪费了时间，这不是应试考试中该有的行为。

综上可知，正确答案为 $\frac{1}{\sqrt{1-e^{-1}}}$.

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