2013年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ , $B$ , $C$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $A B = C$ , 且 $B$ 可逆，则 $?$

$A . 矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价$

$B . 矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价$

$C . 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价$

$D . 矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价$

解析

解法一

考研试卷中的题目，要么是对课本公式和性质的利用，要么就是对课本公式或性质的的延伸。

本题就属于对课本公式或性质的延伸。题中问到了“等价”，那么，很显然，本题一定和课本中的“等价”有联系。

课本上关于矩阵 $A$ 等价于矩阵 $B$ 的定义是：

存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶矩阵 $Q$ 使得 $m \times n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$ 有如下关系：

$P A Q = B .$

则称 $A$ 与 $B$ 等价。

观察上述定义并结合矩阵乘法中的【左行右列】定律，可以猜测，矩阵 $A$ 左边的矩阵 $P$ 是使 $A$ 的【行】等价于矩阵 $B$ 的【行】, 矩阵 $A$ 右边的矩阵 $Q$ 是使 $A$ 的【列】等价于矩阵 $B$ 的【列】。

于是，我们可以【猜测】，在 $A B = C$ 中，可逆矩阵 $B$ 只能使 $A$ 的【列】与矩阵 $C$ 的【列】等价，故 $B$ 项正确。

方法二

方法一只是一种【猜测】，要想获知确切的答案，还是需要严密的推理才行。

为了书写方便，我下面以 $2$ 阶矩阵为例进行推导，分析可知，下面的过程可以推广到 $n$ 阶矩阵中并仍然成立。

设 $a_{1}$ , $a_{2}$ 为二阶矩阵 $A$ 的两个列向量， $c_{1}$ , $c_{2}$ 为二阶矩阵 $C$ 的两个列向量，另外， $B = | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} b_{21} & b_{22} \end{matrix} |$ .

则：

$A B = C \Rightarrow$

$| \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} | | \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} | | \begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix} | \Rightarrow$

$a_{1} b_{11} + a_{2} b_{21} = c_{1}; ①$

$a_{1} b_{12} + a_{2} b_{22} = c_{2} . ②$

我们知道，在【线性】代数中，矩阵的【初等变换】就是依靠不同的【系数】，也就是【实数】形成的【线性计算】。

因此，上面的 $①$ , $②$ 两式的含义就是，列向量 $a_{1}$ 和列向量 $a_{2}$ 能够通过一定的【线性计算】，也就是【初等变换】变成列向量 $c_{1}$ 和列向量 $c_{2}$ .

于是，有：

$a_{1} 和 a_{2} 等价于 c_{1};$

$a_{1} 和 a_{2} 等价于 c_{2} .$

又因为矩阵 $B$ 是可逆的，于是，有：

$A B B^{- 1} = C B^{- 1} \Rightarrow$

$C B^{- 1} = A .$

进而，同理可得：

$c_{1} 和 c_{2} 等价于 a_{1};$

$c_{1} 和 c_{2} 等价于 a_{2} .$

于是：

$a_{1}, a_{2} 和 c_{1}, c_{2} 相互等价。$

综上可知，正确选项为 $B$ .

EOF

题目

解析

解法一

方法二

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