2014年考研数二第12题解析

题目

曲线 $L$ 的极坐标方程是 $r=\theta$, 则 $L$ 在点 $(r,\theta )=(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 处切线的直角坐标系方程为 $?$

解析

极坐标系转直角坐标系的转换公式如下：

$$x=r\cos \theta ;$$

$$y=r\sin \theta .$$

于是，极坐标方程 $r=\theta$ 可以转化成直角坐标系下的参数方程：

$$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta \end{array}\Rightarrow$$

一般地，参数方程中只能有一个参数，因此，还需要继续替换

$$\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}x=\theta \cos \theta ,\\ y=\theta \sin \theta .\end{array}$$

经过上面的转换，我们就得到了一个直角坐标系下的参数方程，随后的计算就是对该参数方程求导。

又：

$$\frac{dy}{d\theta }=$$

$$\sin \theta +\theta \cos \theta .$$

$$\frac{dx}{d\theta }=$$

$$\cos \theta –\theta \sin \theta .$$

于是：

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$\frac{\sin \theta +\theta \cos \theta }{\cos \theta –\theta \sin \theta }.$$

当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时：

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$\frac{1+\frac{\pi }{2}\cdot 0}{0–\frac{\pi }{2}\cdot 1}=$$

$$-\frac{2}{\pi }.$$

又，极坐标系下的点 $(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 对应的直角坐标系下的同一个点是：

$$(0,\frac{\pi }{2}).$$

于是，题目中要求的切线方程为：

$$y–\frac{\pi }{2}=–\frac{2}{\pi }(x–0)\Rightarrow$$

$$y=–\frac{2}{\pi }x+\frac{\pi }{2}.$$

综上可知，正确答案为 $y=–\frac{2}{\pi }x+\frac{\pi }{2}$.

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