题目
若函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{”} + y^{‘} – 2y = 0$ 的解，且在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 $3$, 则 $y(x)=?$
解析
本题考察二阶常系数线性齐次微分方程。
由题知，该微分方程的特征方程为：
$$
\lambda^{2} + \lambda – 2 = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda-1)(\lambda+2) = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1} = 1;
$$
$$
\lambda_{2} = -2.
$$
于是，该微分方程的通解为：
$$
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-2x}.
$$
由题又知，$x = 0$ 时，$y=3$, $y^{‘}=0$, 于是有：
$$
C_{1} + C_{2} = 3; ①
$$
$$
C_{1} + C_{2}(-2) = 0. ②
$$
联立 $①$, $②$ 两式得：
$$
C_{1} = 2;
$$
$$
C_{2} = 1.
$$
于是：
$$
y(x) = 2 e^{x} + e^{-2x}.
$$
综上可知，正确答案为 $2 e^{x} + e^{-2x}$.
EOF