2015年考研数二第12题解析

题目

若函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{”}+y^{‘}–2y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 $3$, 则 $y(x)=?$

解析

本题考察二阶常系数线性齐次微分方程。

由题知，该微分方程的特征方程为：

$${\lambda }^2+\lambda –2=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -1)(\lambda +2)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=1;$$

$${\lambda }_2=-2.$$

于是，该微分方程的通解为：

$$y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-2x}.$$

由题又知，$x=0$ 时，$y=3$, $y^{‘}=0$, 于是有：

$$C_1+C_2=3;\mathrm{①}$$

$$C_1+C_2(-2)=0.\mathrm{②}$$

联立 $\mathrm{①}$, $\mathrm{②}$ 两式得：

$$C_1=2;$$

$$C_2=1.$$

于是：

$$y(x)=2e^x+e^{-2x}.$$

综上可知，正确答案为 $2e^x+e^{-2x}$.

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