2016年考研数二第10题解析

题目

编号:A2016210

极限 limn 1n2 ( sin1n + 2sin2n ++ nsinnn ) =?

解析

虽然,当 K 为常数,n 时,有 Kn=0, 此时,可以使用等价无穷小,从而有:

sinKnKn.

但很显然,题中对应于 K 的位置是趋于无穷的,从某一个位置之后,K 就不是一个有限的数了。因此,这里不能使用等价无穷小替换解题。

在涉及趋于无穷大的条件下式子的求值问题中,我们可以尝试用定积分的定义来解题,过程如下:

=

limn1n1n(sin1n+2sin2n+..+nsinnn)=

limn1n(1nsin1n+2nsin2n+..+nnsinnn)=

limn1ni=1ninsinin=

注意:上式中的 1n 代表着于把 [0,1] 区间分成了 n 份。

01xsinxdx=

(1)01xd(cosx)=

$$
(-1)[x \cos x |{0}^{1} – \int{0}^{1} \cos x dx] =
$$

(1)[cos1sin1]=

sin1cos1.

综上可知,正确答案为 sin1cos1.

EOF


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