题目
编号：A2016210
极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$ $($ $\sin \frac{1}{n}$ $+$ $2 \sin \frac{2}{n}$ $+…+$ $n \sin \frac{n}{n}$ $)$ $=?$
解析
虽然，当 $K$ 为常数，$n \rightarrow \infty$ 时，有 $\frac{K}{n} = 0$, 此时，可以使用等价无穷小，从而有：
$$
\sin \frac{K}{n} \sim \frac{K}{n}.
$$
但很显然，题中对应于 $K$ 的位置是趋于无穷的，从某一个位置之后，$K$ 就不是一个有限的数了。因此，这里不能使用等价无穷小替换解题。
在涉及趋于无穷大的条件下式子的求值问题中，我们可以尝试用定积分的定义来解题，过程如下：
$$
原式 =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1}{n} (\sin \frac{1}{n} + 2 \sin \frac{2}{n} +..+ n \sin \frac{n}{n}) =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{n}\sin \frac{1}{n} + \frac{2}{n} \sin \frac{2}{n} +..+ \frac{n}{n} \sin \frac{n}{n}) =
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \sin \frac{i}{n} =
$$
注意：上式中的 $\frac{1}{n}$ 代表着于把 $[0,1]$ 区间分成了 $n$ 份。
$$
\int_{0}^{1} x \sin x dx =
$$
$$
(-1) \int_{0}^{1} x d(\cos x) =
$$
$$
(-1)[x \cos x |{0}^{1} – \int{0}^{1} \cos x dx] =
$$
$$
(-1)[\cos 1 – \sin 1] =
$$
$$
\sin 1 – \cos 1.
$$
综上可知，正确答案为 $\sin 1 – \cos 1$.
EOF