2016年考研数二第01题解析

题目

编号：A2016201

设 ${\alpha }_1=x(\cos \sqrt{x}-1)$, ${\alpha }_2=\sqrt{x}\ln (1+\sqrt[3]{x})$, ${\alpha }_3=\sqrt[3]{x+1}-1$.

当 $x\to 0^{+}$ 时，以上 $3$ 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 $?$

$$A.{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

$$B.{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_1$$

$$C.{\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3$$

$$D.{\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1$$

解析

一个重要的等价无穷小公式：

$$(1+x{)}^a=ax.$$

由于，当 $x\to 0^{+}$ 时，有：

$${\alpha }_1\sim (-1)\frac{1}{2}{x}^2.$$

$${\alpha }_2\sim \sqrt{x}\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}.$$

注意：$\sqrt{x}\sqrt[3]{x}\ne \sqrt[4]{x}$.

$${\alpha }_3\sim (1+x{)}^{\frac{1}{3}}–1\sim \frac{1}{3}x.$$

注意，只有当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时，才可以忽略常数，即 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt[3]{1+x}–1)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt[3]{1+x})$, $\underset{x\to 0}{lim}(\sqrt[3]{1+x}–1)\ne \underset{x\to 0}{lim}(\sqrt[3]{1+x})$. 这一点看似很简单，但是实际计算时易弄错——时刻记住当前 $x$ 的趋向是什么。

综上可知，正确选项为 $B$.

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