2017年考研数二第14题解析：矩阵、特征向量

一、题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
4 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
3 & 1 & -1
\end{bmatrix}$ 的一个特征向量为 $\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}$, 则 $a=?$

二、解析

要求出 $a$ 肯定要列一个方程，也就是找一个等式。这个等式不仅要包括矩阵 $A$, 还要包括题中给出的特征向量，于是，我们可以想到下面这两个等式：

$$
|\lambda E – A|x = 0;
$$

$$
A \alpha = \lambda \alpha.
$$

但是，进一步一想就会发现，由于题中没有给出特征向量对应的特征值 $\lambda$, 因此，无论使用上面哪个式子，【似乎】都会产生两个未知数 $\lambda$ 和 $a$. 这样还是无法解出 $a$.

至此，【如果】上面两个式子都没法用，这道题又没了突破口。

其实，上面的顾虑不是必须的。对于一个可能的解题方法，我们一定要动手算一算，不能随便就觉得一个方法不可行。而且，就算一个方法真的不可行，这一个方法的思路或者结论，也有可能为其他方法提供帮助。所以，一定要写出来，算一算。

方法一：

由 $A \alpha = \lambda \alpha$ 知：

$$
\begin{bmatrix}
4 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
3 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda \\
\lambda \\
2 \lambda
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 \\
3+2a \\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\lambda \\
\lambda \\
2 \lambda
\end{bmatrix}
\Rightarrow
$$

$$
\lambda =1 \Rightarrow
$$

$$
3+2a=1 \Rightarrow
$$

$$
a=-1.
$$

方法二：

由 $(\lambda E-A)x = 0$, 又：

$$
\begin{vmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda
\end{vmatrix}
–
\begin{vmatrix}
4 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a\\
3 & 1 & -1
\end{vmatrix}
=
$$

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & -1 & 2 \\
-1 & \lambda-2 & -a \\
-3 & -1 & \lambda+1
\end{vmatrix}.
$$

于是有：

$$
\begin{vmatrix}
\lambda-4 & -1 & 2 \\
-1 & \lambda-2 & -a \\
-3 & -1 & \lambda+1
\end{vmatrix}
=
0
\Rightarrow
$$

$$
(\lambda – 1, \lambda – 2a -3, 2 \lambda -2) =
$$

$$
(0,0,0) \Rightarrow
$$

$$
\lambda -1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda = 1.
$$

于是：

$$
1-2a-3=0 \Rightarrow
$$

$$
-2a=2 \Rightarrow
$$

$$
a=-1.
$$

注意：加减计算一定要仔细，$10$ 以内得加减法十分重要。