2017年考研数二第14题解析

题目

设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right]$ 的一个特征向量为 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$, 则 $a=?$

解析

要求出 $a$ 肯定要列一个方程，也就是找一个等式。这个等式不仅要包括矩阵 $A$, 还要包括题中给出的特征向量，于是，我们可以想到下面这两个等式：

$$|\lambda E–A|x=0;$$

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

但是，进一步一想就会发现，由于题中没有给出特征向量对应的特征值 $\lambda$, 因此，无论使用上面哪个式子，【似乎】都会产生两个未知数 $\lambda$ 和 $a$. 这样还是无法解出 $a$.

至此，【如果】上面两个式子都没法用，这道题又没了突破口。

其实，上面的顾虑不是必须的。对于一个可能的解题方法，我们一定要动手算一算，不能随便就觉得一个方法不可行。而且，就算一个方法真的不可行，这一个方法的思路或者结论，也有可能为其他方法提供帮助。所以，一定要写出来，算一算。

方法一：

由 $A\alpha =\lambda \alpha$ 知：

$$\left[\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda \\ \lambda \\ 2\lambda \end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{c}1\\ 3+2a\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda \\ \lambda \\ 2\lambda \end{array}\right]\Rightarrow$$

$$\lambda =1\Rightarrow$$

$$3+2a=1\Rightarrow$$

$$a=-1.$$

方法二：

由 $(\lambda E-A)x=0$, 又：

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|–\left|\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 2& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right|=$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -4& -1& 2\\ -1& \lambda -2& -a\\ -3& -1& \lambda +1\end{array}\right|.$$

于是有：

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -4& -1& 2\\ -1& \lambda -2& -a\\ -3& -1& \lambda +1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –1,\lambda –2a-3,2\lambda -2)=$$

$$(0,0,0)\Rightarrow$$

$$\lambda -1=0\Rightarrow$$

$$\lambda =1.$$

于是：

$$1-2a-3=0\Rightarrow$$

$$-2a=2\Rightarrow$$

$$a=-1.$$

注意：加减计算一定要仔细，$10$ 以内得加减法十分重要。

综上可知，正确答案为 $-1$.

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