题目
设函数 $f(x,y)$ 具有一阶连续偏导数，且 $df(x,y) =ye^{y}dx + x(1+y)e^{y}dy$, $f(0,0)=0$, 则 $f(x,y)=?$
解析
由 $df(x,y) =ye^{y}dx + x(1+y)e^{y}dy$ 知：
$$
\frac{df(x,y)}{dx} =
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial x} =
$$
$$
ye^{y}.
$$
于是，$f(x,y)$ 可以设为：
$$
f = x \cdot ye^{y} + \varphi (y) ①
$$
注意：$①$ 式中 $”+”$ 号后面用的是 $\varphi (y)$ 而不是常数 $C$, 因为，$①$ 式是对 $x$ 求偏导，此时，$y$ 的函数 $\varphi (y)$ 被视为常数 (包含 $y$ 的式子是 $y$ 的函数，只有常数也可以视为 $y$ 的函数)，但是，在对 $y$ 求偏导的时候，$\varphi (y)$ 不一定真的是一个常数，因此，这里不能直接用常数 $C$.
又：
$$
\frac{df(x,y)}{dy} =
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} =
$$
$$
x(1+y)e^{y}.
$$
即：
$$
f_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}.
$$
于是有：
$$
[xye^{y} + \varphi (y)]_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}.
$$
又：
$$
[xye^{y} + \varphi (y)]_{y}^{‘} =
$$
$$
x(e^{y} + ye^{y}) + \varphi^{‘}(y).
$$
于是：
$$
x(e^{y} + ye^{y}) + \varphi^{‘}(y) = x(1+y)e^{y}.
$$
即：
$$
\varphi^{‘}(y) = 0 \Rightarrow
$$
$$
\varphi (y) = C, 其中 C 为常数.
$$
于是：
$$
f = x \cdot ye^{y} + C
$$
又：
$$
f(0,0)=0.
$$
所以：
$$
0+C=0 \Rightarrow
$$
$$
C=0.
$$
于是：
$$
f = x \cdot ye^{y}.
$$
即：
$$
f(x,y) = x \cdot ye^{y}.
$$
其实本题也可以从 $f_{y}^{‘} = x(1+y)e^{y}$ 来反推原函数 $f=xye^{y}$. 但是，这个过程比较困难，不容易看出来。由于无论是从对 $x$ 的偏导反推原函数，还是从 $y$ 的偏导反推原函数，推出来的都是同一个原函数，这个时候就可以较用好推（一般也较简单）的那个式子来推原函数。
综上可知，正确答案为 $x \cdot ye^{y}$.
EOF