2017年考研数二第12题解析

题目

设函数 $f(x,y)$ 具有一阶连续偏导数，且 $df(x,y)=y{e}^{y}dx+x(1+y)e^{y}dy$, $f(0,0)=0$, 则 $f(x,y)=?$

解析

由 $df(x,y)=y{e}^{y}dx+x(1+y)e^{y}dy$ 知：

$$\frac{df(x,y)}{dx}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=$$

$$y{e}^y.$$

于是，$f(x,y)$ 可以设为：

$$f=x\cdot y{e}^y+\phi (y)\mathrm{①}$$

注意：$\mathrm{①}$ 式中 $”+”$ 号后面用的是 $\phi (y)$ 而不是常数 $C$, 因为，$\mathrm{①}$ 式是对 $x$ 求偏导，此时，$y$ 的函数 $\phi (y)$ 被视为常数 (包含 $y$ 的式子是 $y$ 的函数，只有常数也可以视为 $y$ 的函数)，但是，在对 $y$ 求偏导的时候，$\phi (y)$ 不一定真的是一个常数，因此，这里不能直接用常数 $C$.

又：

$$\frac{df(x,y)}{dy}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=$$

$$x(1+y)e^y.$$

即：

$$f_y^{‘}=x(1+y)e^y.$$

于是有：

$$[xy{e}^y+\phi (y){]}_y^{‘}=x(1+y)e^y.$$

又：

$$[xy{e}^y+\phi (y){]}_y^{‘}=$$

$$x(e^y+y{e}^y)+{\phi }^{‘}(y).$$

于是：

$$x(e^y+y{e}^y)+{\phi }^{‘}(y)=x(1+y)e^y.$$

即：

$${\phi }^{‘}(y)=0\Rightarrow$$

$$\phi (y)=C,\mathrm{其}\mathrm{中}C\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}.$$

于是：

$$f=x\cdot y{e}^y+C$$

又：

$$f(0,0)=0.$$

所以：

$$0+C=0\Rightarrow$$

$$C=0.$$

于是：

$$f=x\cdot y{e}^y.$$

即：

$$f(x,y)=x\cdot y{e}^y.$$

其实本题也可以从 $f_y^{‘}=x(1+y)e^y$ 来反推原函数 $f=xy{e}^y$. 但是，这个过程比较困难，不容易看出来。由于无论是从对 $x$ 的偏导反推原函数，还是从 $y$ 的偏导反推原函数，推出来的都是同一个原函数，这个时候就可以较用好推（一般也较简单）的那个式子来推原函数。

综上可知，正确答案为 $x\cdot y{e}^y$.

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