2017年考研数二第12题解析

一、题目

二、解析

由 $\mathrm{d} f(x,y) =y \mathrm{e}^{y} \mathrm{d} x + x(1+y) \mathrm{e}^{y} \mathrm{d} y$ 知：

$$
\frac{\mathrm{d} f(x,y)}{\mathrm{d} x} = \frac{\partial f}{\partial x} = y \mathrm{e}^{y}
$$

于是，$f(x,y)$ 可以设为：

$$
f = x \cdot y \mathrm{e}^{y} + \varphi (y) ①
$$

注意：$①$ 式中 $”+”$ 号后面用的是 $\varphi (y)$ 而不是常数 $C$, 因为，$①$ 式是对 $x$ 求偏导，此时，$y$ 的函数 $\varphi (y)$ 被视为常数 (包含 $y$ 的式子是 $y$ 的函数，只有常数也可以视为 $y$ 的函数)，但是，在对 $y$ 求偏导的时候，$\varphi (y)$ 不一定真的是一个常数，因此，这里不能直接用常数 $C$.

又：

$$
\frac{\mathrm{d} f(x,y)}{\mathrm{d} y} = \frac{\partial f}{\partial y} = x(1+y) \mathrm{e}^{y}
$$

即：

$$
f_{y}^{\prime} = x(1+y) \mathrm{e}^{y}.
$$

于是有：

$$
[xy \mathrm{e}^{y} + \varphi (y)]_{y}^{\prime} = x(1+y) \mathrm{e}^{y}.
$$

又：

$$
[xy \mathrm{e}^{y} + \varphi (y)]_{y}^{\prime} = x(\mathrm{e}^{y} + y \mathrm{e}^{y}) + \varphi^{\prime}(y)
$$

于是：

$$
x( \mathrm{e}^{y} + y \mathrm{e}^{y}) + \varphi^{\prime}(y) = x(1+y) \mathrm{e}^{y}.
$$

即：

$$
\varphi^{\prime}(y) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\varphi (y) = C, 其中 C 为常数.
$$

于是：

$$
f = x \cdot y \mathrm{e}^{y} + C
$$

又：

$$
f(0,0)=0.
$$

所以：

$$
0+C=0 \Rightarrow C=0
$$

于是：

$$
f = x \cdot y \mathrm{e}^{y}.
$$

即：

$$
f(x,y) = x \cdot y \mathrm{e}^{y}.
$$

其实本题也可以从 $f_{y}^{\prime} = x(1+y) \mathrm{e}^{y}$ 来反推原函数 $f=xy \mathrm{e}^{y}$. 但是，这个过程比较困难，不容易看出来。由于无论是从对 $x$ 的偏导反推原函数，还是从 $y$ 的偏导反推原函数，推出来的都是同一个原函数，这个时候就可以较用好推（一般也较简单）的那个式子来推原函数。

综上可知，正确答案为 $x \cdot ye^{y}$.

EOF

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