2017年考研数二第10题解析

题目

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{c}x=t+e^t,\\ y=\sin t\end{array}$ 确定，则 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{t=0}$ = $?$

解析

本题就是考察参数方程求导。

由于：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=$$

$$\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}).$$

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

$$\frac{dy}{dt}=$$

$$\cos t.$$

$$\frac{dx}{dt}=$$

$$1+e^t.$$

于是：

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$\frac{\cos t}{1+e^t}=y^{‘}.$$

则：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=$$

$$\frac{d{y}^{‘}}{dx}=$$

$$\frac{\frac{d{y}^{‘}}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.$$

又：

$$\frac{d{y}^{‘}}{dt}=$$

$$(\frac{\cos t}{1+e^t}{)}^{‘}=$$

$$\frac{-\sin t(1+e^t)–\cos t(e^t)}{(1+e^t{)}^2}.$$

于是：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=$$

$$\frac{-\sin t(1+e^t)–\cos t(e^t)}{(1+e^t{)}^2}\cdot \frac{1}{1+e^t}=$$

$$\frac{-\sin t(1+e^t)–\cos t(e^t)}{(1+e^t{)}^3}.$$

当 $t=0$ 时：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=$$

$$\frac{0-1\cdot 1}{(1+1{)}^3}=–\frac{1}{8}.$$

综上可知，正确答案为 $-\frac{1}{8}$.

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