一、题目
微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $4 y^{\prime}$ $+$ $8y$ $=$ $\mathrm{e}^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特解可设为 $y^{*} = ?$
⟨A⟩. $A \mathrm{e}^{2x}$ $+$ $\mathrm{e}^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$
⟨B⟩. $Ax \mathrm{e}^{2x}$ $+$ $\mathrm{e}^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$
⟨C⟩. $A \mathrm{e}^{2x}$ $+$ $x \mathrm{e}^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$
⟨D⟩. $Ax \mathrm{e}^{2x}$ $+$ $x \mathrm{e}^{2x}(B \cos 2x + C \sin 2x)$
二、解析
本题主要考察非齐次微分方程特解的设解方法，关于这部分知识，可以参考下面这篇文章：
$y^{\prime \prime} – 4 y^{\prime} + 8y = \mathrm{e}^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特征方程为：
$$
\lambda^{2} – 4 \lambda + 8 = 0.
$$
解得：
$$
\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} \Rightarrow
$$
$$
\lambda = 2 \pm 2 i.
$$
又因为 $y^{\prime \prime} – 4 y^{\prime} + 8y = \mathrm{e}^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的右端项为：
$$
\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^{2x} \cos 2x.
$$
其中，右端项里的 $\mathrm{e}^{2x}$ 对应的特解可设为：
$$
A \mathrm{e}^{2x}.
$$
右端项里的 $\mathrm{e}^{2x} \cos 2x$ 对应的特解可设为：
$$
x \mathrm{e}^{2x}[B \cos 2x + C \sin 2x].
$$
则微分方程 $y^{\prime \prime} – 4 y^{\prime} + 8y = \mathrm{e}^{2x}(1+ \cos 2x)$ 的特解可设为：
$$
A \mathrm{e}^{2x} + x \mathrm{e}^{2x}[B \cos 2x + C \sin 2x].
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
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