[高数]用待定系数法求二阶非齐次微分方程特解时的设解方法

针对使用待定系数法确定二阶非齐次微分方程组的特解，本文将根据二阶非齐次微分方程右端项形式的不同，分三种情况依次说明。

一、右端项为 $P_n(x)e^{\mu x}$

当前要讨论的二阶非齐次微分方程的形式为：

$$y^{”}+a{y}^{‘}+by=P_n(x)e^{\mu x}.$$

则将特解的形式为：

$$y^{\ast }=x^k{Q}_n{e}^{\mu x}.$$

下面分别说明如何确定设出的特解中的各个部分。

• $x^k$

写出非齐次方程对应的特征方程：

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0.$$

解出上式中的 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$, 如果，对于 $P_n(x)e^{\mu x}$ 中的 $\mu$:

当 $\mu \ne {\lambda }_1$ 且 $\mu \ne {\lambda }_2$ 时，有 $k=0$;（$k$ 和 $0$ 个 $\lambda$ 相等）

当 $\mu ={\lambda }_1$ 且 $\mu \ne {\lambda }_2$, 或者 $\mu ={\lambda }_2$ 且 $\mu \ne {\lambda }_1$ 时，有 $k=1$;（$k$ 和 $1$ 个 $\lambda$ 相等，${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$）

当 $\mu ={\lambda }_1$ 且 $\mu ={\lambda }_2$ 时，有 $k=2$.（$k$ 和 $2$ 个 $\lambda$ 相等，${\lambda }_1={\lambda }_2$）

• $Q_n(x)$

$Q_n(x)$ 由 $P_n(x)$ 决定，$Q_n(x)$ 中 $x$ 的最高次幂与 $P_n(x)$ 中 $x$ 的最高次幂相等。

例如：

当 $P_n(x)=x$ 时，则 $Q_n(x)=ax+b$;

当 $P_n(x)=2x^2+x$ 时，则 $Q_n(x)=a{x}^2+bx+c$;

当 $P_n(x)=1$ 时，则 $Q_n(x)=A$.

• $e^{\mu x}$

特解中的 $e^{\mu x}$ 与右端项 $P_n(x)e^{\mu x}$ 中的 $e^{\mu x}$ 完全一致。

二、右端项为 $P_n(x)e^{\alpha x}\cos \beta x$ 或者 $P_n(x)e^{\alpha x}\sin \beta x$

当前要讨论的二阶非齐次微分方程的形式为：

$$y^{”}+a{y}^{‘}+by=P_n(x)e^{\alpha x}\cos \beta x;$$

或者：

$$y^{”}+a{y}^{‘}+by=P_n(x)e^{\alpha x}\sin \beta x.$$

对于以上两种形式的非齐次方程组，其特解的形式都为：

$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[Q_n(x)\cos \beta x+W_n(x)\sin \beta x].$$

下面分别说明如何确定设出的特解中的各个部分。

• $x^k$

写出非齐次方程对应的特征方程：

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0.$$

解出上式中的特征根，则：

当 $\alpha \pm i\beta$ 与特征根【相等】时，$k=1$;

当 $\alpha \pm i\beta$ 与特征根【不相等】时，$k=0$.

• $Q_n(x)$ 和 $W_n(x)$

特解中 $Q_n(x)$ 和 $W_n(x)$ 的确定方法和章节一中 $Q_n(x)$ 的确定方法一致。

• $\alpha$ 和 $\beta$

特解中的 $\alpha$ 和 $\beta$ 与齐次方程组右端项中的 $\alpha$ 和 $\beta$ 一致。

三、右端项为以上两种形式的混合

非齐次方程右端项中上述两种形式以何种方式（加减乘除等）混合，则特解就分别按照上述两种形式求解后再以相同的方式混合。

有时候需要对右端项做一些简单的变形组合之后才能清晰地看到上述两种特解求解方式的混合形式。

EOF