题目
若函数 $f(x) =
\left\{\begin{matrix}
\frac{1- \cos \sqrt{x}}{ax}, x > 0,\\
b, x \leqslant 0
\end{matrix}\right.
$ 在 $x=0$ 处连续，则 $?$
$$A. ab = \frac{1}{2}$$
$$B. ab = – \frac{1}{2}$$
$$C. ab = 0$$
$$D. ab = 2$$
解析
可导必连续，但是不可导不一定不连续，因此本题不能使用导函数判断原函数是否连续，直接使用原函数在一点处左右两边的函数值是否相等来判断该点处函数是否连续即可。
已知：
$$
1 – \cos t = \frac{1}{2} t^{2}.
$$
则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1 – \cos \sqrt{x}}{ax} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}x}{ax} = \frac{1}{2a}.
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} b = b.
$$
若要 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则必须要有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x).
$$
即：
$$
\frac{1}{2a} = b \Rightarrow
$$
$$
ab = \frac{1}{2}.
$$
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF