2018年考研数二第14题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵，$a_1,a_2,a_3$ 是线性无关的向量组。若 $A{\alpha }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$, $A{\alpha }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_3$, $A{\alpha }_3=–{\alpha }_2+{\alpha }_3$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$

解析

首先，“实特征值”就是为“实数”（不是虚数）的特征值。

由分块矩阵的性质可知：

关于分块矩阵的性质，可以参考这篇文章：《[线代]分块矩阵的运算》

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3).$$

于是：

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=$$

$$(2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_2+2{\alpha }_3,-{\alpha }_2+{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

即：

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

设：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3);$$

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right].$$

则有：

$$AP=PQ.$$

又由题知，$P$ 可逆，所以：

$$P^{-1}AP=P^{-1}PQ\Rightarrow$$

$$P^{-1}AP=Q.$$

即 $A$ 与 $Q$ 相似。

又因为，相似的矩阵有相同的特征值，所以，求 $A$ 的实特征值就是求 $Q$ 的实特征值。

$Q$ 的特征方程为：

$$|\lambda E–Q|=0.$$

即：

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right|–\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& 0& 0\\ -1& \lambda -1& 1\\ -1& -2& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$(\lambda -2)(\lambda -1{)}^2+2(\lambda –2)=0\Rightarrow$$

$$(\lambda –2)[(\lambda –1{)}^2+2]=0.\mathrm{①}$$

又因为，在实数范围内，一定有：

$$(\lambda –1{)}^2+2>0.$$

于是，在实数范围内，只有 $\lambda =2$ 能使 $\mathrm{①}$ 式成立。

综上可知，正确答案为 $2$.

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